类欧几里得算法学习笔记

类欧几里得算法

这种东西。。。了解了解愉悦一下身心吧。只学了最简单的一种，其他的一坨扩展等哪天心情好了再看。

设\(f(n, a, b, c) = \sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ai + b}{c} \rfloor\)

我们要计算的就是\(f(n, a, b, c)\)，如果认为\(n, a, b, c\)同阶的话，我们可以做到\(\log n\)的复杂度

前置知识

一些关于取整的小结论

\(a < \lfloor \frac{b}{c} \rfloor \Leftrightarrow ac < b\)

\(a > \lceil \frac{b}{c} \rceil \Leftrightarrow ac > b\)

\(a \leqslant \lfloor \frac{b}{c} \rfloor \Leftrightarrow ac \leqslant b\)

\(a \geqslant \lceil \frac{b}{c} \rceil \Leftrightarrow ac \geqslant b\)

\(\lfloor \frac{b}{c} \rfloor = \lceil \frac{b-c+1}{c} \rceil\)

\(\lceil \frac{b}{c} \rceil = \lfloor \frac{b+c-1}{c} \rfloor\)

然后就可以推柿子啦

神仙推导

\[\begin{aligned} f(n, a, b, c) &=\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ai + b}{c} \rfloor\\ &=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{\lfloor \frac{ai + b}{c} \rfloor - 1} 1 \\ &=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (j < \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor)\\ &=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (j < \lceil \frac{ai+b-c+1}{c})\\ &=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (cj < ai + b - c + 1)\\ &=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (i > \lfloor \frac{cj-b+c-1}{a} \rfloor)\\ &=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} n - \lfloor \frac{cj-b+c-1}{a} \rfloor\\ &=n * \lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor - \sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \lfloor \frac{cj-b+c-1}{a} \rfloor\\ &=n * \lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor - f(\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1, c, c-b-1, a) \end{aligned} \]

然后就能递归算了，每次范围会至少折半，因此复杂度为\(\log n\)