珂朵莉树-ODT

这是一种内含均摊思想的暴力，为什么叫树？可能和 set 的使用有关吧......

核心思想：

将一段相同权值的区间压缩成一个结点，在 set 中保存

它的用处：对于随机数据，如果含有区间赋值，我们就有机会让结点数大幅度下降，在求值操作时可以快速操作

当然，对于精心构造的数据，珂朵莉树可以说是束手无策的（如没有区间赋值操作，一直让你求值，复杂度就会退化到 \(O(n^2)\)）

在保证数据随机下，珂朵莉树的复杂度有严格的证明：珂朵莉树的复杂度分析
（我太弱了看不懂），用 set 实现为 \(O(nlog^2n)\) ,链表实现为 \(O(logn)\)

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具体做法：算法来源 CF896C

首先，我们要定义结点保存的方式：

struct Node
{
	int l, r;
	mutable LL v;
	bool operator < (const Node &a) const {return l < a.l;}
};

\(l\) , \(r\) 表示结点代表的区间，\(v\) 表示这段区间的值

mutable 关键字：这表示我们定义的 \(v\) 永远处于可变的状态，即使是在一个 const 函数中；这使我们可以直接修改 set 中的 \(v\) 值，方便我们区间赋值的操作，不需要“取出-删除-重新插入”

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核心操作：\(split(pos)\)

inline auto split(int pos)
{
	if(pos > n) return f.end();
	auto it = --f.upper_bound((Node){pos, 0, 0});
	if(it -> l == pos) return it;
	int l = it -> l, r = it -> r; LL v = it -> v;
	f.erase(it);
	f.insert((Node{l, pos - 1, v}));
	return f.insert((Node){pos, r, v}).first;
}

这个操作就是在 set 中分裂出以 \(pos\) 为左端点的区间，并返回这个区间的迭代器

当我们 \(split(l)\) 和 \(split(r+1)\) 后，set 中就会有以 \(l\) 为左端点的区间，以及以 \(r\) 为右端点的区间

当我们需要对 \([l,r]\) 进行操作时，我们就可以直接遍历这些区间，并进行修改、求值

注意：实际操作时，我们要先 \(split(r+1)\)，再 \(split(l)\)

原因：如果我们先 \(split(l)\)，这时候 \(r+1\) 还在以 \(l\) 为左端点的区间内，\(split(r+1)\) 就会导致我们 \(split(l)\) 时返回的迭代器因为被删除而失效，然后RE

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珂朵莉树的基础：\(assign(l,\ r,\ v)\)

即：将区间 \([l,r]\) 的值改为 \(v\)

很简单，我们只需要 \(itr=split(r+1)\) , \(itl=split(l)\) 后，遍历 \([itl,itr)\) 进行逐一修改即可

其他操作同理，即暴力操作

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代码

再次警示：如果一个题目没有区间赋值操作，或者数据很不随机，请不要把珂朵莉树当正解打

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例题：CF817F MEX Queries

这道题本来是离散化+线段树板子题，终究是数据水了

我们只需要将 \(op=1\) 的操作看成将 \([l,r]\) 标记为 1 ，\(op=2\) 的操作看成将 \([l,r]\) 标记为 0 ，\(op=3\) 的操作看成将 \([l,r]\) 的值翻转（0 变 1,1 变 0）。

每次询问后找出第一个值为 0 的区间，输出 \(l\) 即可