[Leetcode 77] 组合
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
递归方法一（剪枝）
剪枝的思路是当tmp_list现有长度和剩余可选元素个数之和小于目标值k时，一定无法得到一个结果。此时直接返回。
时间复杂度：\(O\left(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \times k\right)\)。考察dfs方法执行了多少次，即tmp_list + [i]执行了多少次。总计\(C(n, k)\)个解，每个解需要执行k次。
空间复杂度：\(O(k)\)。栈的深度最多为k层，tmp_list的长度最多为k。
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
def dfs(start, tmp_list, length):
if length + (n + 1 - start) < k:
return
if length == k:
res_list.append(tmp_list)
return
for i in range(start, n+1):
dfs(i+1, tmp_list + [i], length+1)
res_list = []
dfs(1, [], 0)
return res_list
递归方法二（数学公式）
排列组合有如下公式。则我们写出一个combine方法，反复调用自身，可得最后的结果。
\(C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k} + C_{n-1}^{k-1}\)
时间复杂度：\(O\left(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \times k\right)\)。主要执行的操作是res.append()和k==1时的二维list生成。生成每个解的复杂度为k。因为每个解都是k个元素。总共有\(C(n, k)\)个解。
空间复杂度：\(O(n)\)。栈的深度最多为n层。
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
if n < 1 or k < 1 or k > n:
return []
if k == 1:
return [[i] for i in range(1, n+1)]
res = self.combine(n-1, k)
for i in self.combine(n-1, k-1):
res.append(i + [n])
return res
注意边界条件，题目给定n和k为整数，则n和k可能为负数或者0。
边界测试用例为n = 0，k = 0， n < k， n = k != 0，n > k，n>=k，k=1，n < 0 or k < 0。
非递归方法
非递归方法不是用栈去模拟递归的方法。这里借鉴itertools.combinations的源码。整体的思路和递归方法一一样，只是使用模拟的方法将结果进行输出。
假设我们n=8，k=5。我们的初始序列是12345，终止序列是45678。我们按照从小到大的顺序来保存所有的结果。
即12345，12346，12347，12348，12356，12357...
我们可以看到当末位增加到8时，次末位加1为5，由于末位始终保持比次末位大，此时更新为次末位加1为6。
将k个数分为前k1个数和后k2个数。k1+k2 = k。当后k2个数无法再增大时，前k1个数的末位加1。后k2个数恢复成此时所能表示的最小值。在这个基础上继续增大。第i位所能表示的最大值位n-k+i+1，i表示索引，从0开始。当所有位均达到了其所能表示的最大值时，此时应该结束模拟的过程。
时间复杂度：\(O\left(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \times k\right)\)。总共有\(C(n, k)\)个解。由上一个解生成下一个解。最多修改k个值。
空间复杂度：\(O(k)\)。nums大小为k。
代码如下：
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int):-> List[List[int]]:
if k > n:
return []
nums = [i for i in range(1, k+1)]
res = []
while True:
res.append(nums.copy())
for i in reversed(range(k)):
if nums[i] != n - k + i + 1:
break
else: # for循环正常结束会执行，若break执行了，则跳过
return res
nums[i] += 1
for j in range(i+1, k):
nums[j] = nums[j-1] + 1
return res
一般地，如果要求我们对任意iterable对象，输出所有可能的组合。即转化为对其索引进行组合。按照索引输出结果即可。
Python库方法
class Solution:
def combine(self, n: int, k: int):-> List[List[int]]:
nums = [i for i in range(1, n+1)]
return list(itertools.combinations(nums, k))
源码如下：
def combinations(iterable, r):
# combinations('ABCD', 2) --> AB AC AD BC BD CD
# combinations(range(4), 3) --> 012 013 023 123
pool = tuple(iterable)
n = len(pool)
if r > n:
return
indices = list(range(r))
yield tuple(pool[i] for i in indices)
while True:
for i in reversed(range(r)):
if indices[i] != i + n - r:
break
else:
return
indices[i] += 1
for j in range(i+1, r):
indices[j] = indices[j-1] + 1
yield tuple(pool[i] for i in indices)
时间复杂度：\(O\left(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \times k\right)\)。总共有\(C(n, k)\)个解。由上一个解生成下一个解。最多修改k个index值。
空间复杂度：\(O(n)\)。pool大小为n，indices大小为k。
