找钱（动态规划）

找钱（动态规划）

说明

第一次写博客，如若不好，还请见谅。如有错误，欢迎指正。

题目描述

给定硬币的面额(值)1 = v1 < v2<…< vn，我们希望用尽可能少的硬币来兑换一定数量的零钱。假设vi和A是整数。因为v1= 1，所以总有解。形式上，这个问题的算法应该取一个数组V作为输入，其中V[i]是第i个面值的硬币的值，A的值为我们要去凑的值。该算法应该返回一个数组C，其中C[i]是有价值的硬币的数量V[i]作为变化返回和m的最小数量的硬币。判定能否组成A,如果能求所需每种硬币的数量。

分析

v[i]表示第i种硬币的面值,N表示硬币种数，A表示需要凑的价值（用"元"表示），c[i]表示第i中硬币需要的数量。
dp[i][j]表示前i种硬币，组成j元所需的最少硬币数，设第i种硬币用k枚，则第i种硬币就组成了k*v[i]元，那么前i-1枚硬币就必须组成j-k*v[i](j>=k* v[i]),如果dp[i-1][ j-k*v[i] ]+k<dp[i][j],那
么更新dp[i][j],直到dp[N][A]就是最小数目。
下面看看如何求每种硬币的数目（这部分我也说不太明白）：
temp代表前i种硬币需要凑的面值，初始化temp=A,因为我们最终需要凑出A元。
我们逆序推导，如果最后一种硬币用了K个，那么前i-1种硬币就需要凑到temp-k*v[i]的面值，只需要更新temp=temp-k*v[i],i=i-1,继续推导就可以得出结论了。
那么我们怎么求第N枚硬币的数量呢？
硬币数量需要满足:

只要前N-1枚硬币组成j元时的最少硬币数+k枚第N枚硬币等于前N种硬币组成A元所需的最少硬币数就可以了。即dp[i][temp]==dp[i-1][temp-k*v[i]]+k。 但是面值是否恰好为temp呢？
只需要j+k*v[N-1]==temp,此处是求第N枚硬币的数量，接下来递推求出其他的就可以了。
如果没有第i枚就是第一枚，没有第i-1枚，做一下特判就可以了。

下面看代码吧

// 先输入硬币数和要凑的钱数
// 然后输入N种硬币的金额
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int N,A;
int MOD=1e9;
int main() {

    //N种硬币,总和A
    scanf("%d%d",&N,&A);

    int dp[N+1][A+1],v[N+1],c[N+1];
    memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=0;i<=N;i++){
	for(int j=0;j<=A;j++)
	    dp[i][j]=MOD;
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
	scanf("%d",&v[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        for(int j = 1; j<= A; j++){
            for(int k = 1;k*v[i]<=j ; k++){
                int num=k*v[i];
		if (num==j&&dp[i][j]>k)dp[i][j]=k;
		else if (dp[i-1][j-num]!=MOD &&dp[i-1][j-num]+k<dp[i][j]){
		    dp[i][j]=dp[i-1][j-num]+k;
                }
            }
        }
    }
    int temp=A;
    for (int i=N;i>0;i--){
	for(int j=temp;j>=0;j--){
            int cha=temp-j;
	    if (j==0){
		if (temp%v[i]==0&&temp/v[i]==dp[i][temp]){
	            c[i]=temp/v[i];
		    temp=0;
		}
	    }
	    if (cha%v[i]==0&&dp[i-1][j]+cha/v[i]==dp[i][temp]){
		c[i]=cha/v[i];
		temp-=cha;
		break;
	    }
	}
    }
    printf("各种硬币数：\n");
    for (int i=1;i<=N;i++){
	printf("%d ",c[i]);
    }
    return 0;
}