2.16

上午填坑小球盒子，讲了群论和胖了ya定理，没听太明白

n小球 m盒子
C是先下后上
1.球盒不同，盒子可空
每个球有m种情况
所以是m^n

2.球相同，盒不同，不可空
想成插板，在n-1个小球里插m-1个板
c(m-1,n-1)

3.球相同，盒不同，可空
可空，给他先放个不存在的球那么就是2的情况
所以我们就相当于n+m个球
答案是c(n+m-1,m-1)

4.球不同，盒相同，不可空
递推，f[i][j]=f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1]
单独一个球可以成盒，那么先有s[i-1][j-1]
也可和前i-1个放一个盒子,j个盒子j种放法（球不同）
即s[i-1][j]*j；
初始状态m=1时只有一种放法

 

群论
一个集合
a,×（×为一个自定义二元运算符）
满足四个性质
1.
a,b∈G
那么a×b∈G
2.
结合律
(a×b)×c=a×(b×c)
3.
有单位元且唯一
a×e=a（e为单位元）
4.逆元
一定存在a×a`=e

子群
H为G的子集且H,×构成一个群那么H为G的子群
群论中≤为子群的意思，不是数值意义上的≤
设G为一个群，H为一个子群，g为G中一个元素
gH=g*h,h∈H
则H为G内关于g的左陪集
Hg=h*g,h∈H
则H为G内关于g的右陪集

陪集性质：
任何g∈G,都有H的大小等于Hg的大小

任意g∈G,都有g∈Hg

Hg=H可互推g∈H
（g为a×b的逆元）

Ha=Hb,Ha×b(-1)=H
a×b(-1)∈H

Ha∩Hb≠空集 则Ha=Hb
那么一个集合的两个陪集要么没交集要么相等

H的全体右陪集的并为G

H≤G 那么G/H表示G中所有H的左陪集，即为{gH,g∈G}
[G:H]表示G中H的不同陪集的数量

拉格朗日定理：
若有限群G和H，若H为G的子群
那么 |H|整除|G| （|G|是|H|的整倍数）

即为H的阶整除G的阶

那么就是
|H|*|G:H|=|G|

置换群
群的性质都有

群作用
对于另一个集合与当前群
一个集合M一个群G
那么f(v,k)为一个二元函数
v为G中元素， K为集合元素
那么
f(e,k)=k
且
（结合律）
f(g,f(s,k))=f(g×s,k)
则此时说G作用集合M
为群作用

轨道稳定子理论

轨道
一个作用在A上的群G，X中一个元素x的轨道是x通过G中元素可转移到的元素的集合
x的轨道记为G（x)
g(x)表示返回值
即g(x)=f(g,x)

稳定子

定义：群G中满足g(x)=x的所有元素g构成的集合
G^x={g|g∈G,g(x)=x}
即不动点数量

公式
|G^x|*|G(x)|=|G|

置换
就是一个映射函数
用一个2*n的矩阵表示
运算时右边为原式，左边为映射
那么相当于
右边按照顺序插入数组
左边为右边数组的下标

 

下午就是卷积和莫反吧，主要就是推式子，有套路

狄利克雷卷积

h(n)=∑i|n f(i)g(n/i)
那么h(n) 是 f(n) 和 g(n)的迪利克雷卷积
那么h=f*g

h.f.g
满足结合律， 交换律，分配律
单位元为[x=1]

积性函数*积性函数=积性函数

f和f*g是积性函数，g也是积性函数

常见卷积

f*1=∑d|n f(d)

n^k (n)*1=σ^k（n）(n的约数的k次方的和）

φ*1=Id（id为n(n))

μ*1=单位元

Id*μ=φ

μ*d=1(d是约数个数）

设F=1*f 那么f=u*F

μ（莫比乌斯函数）

莫反定理
f,F是两个定义在自然数集合上的函数
且F(n)=∑d|n f(d)

那么f(n)=∑d|n μ(d)F(n/d)

f(n)=∑n|d μ(d|n)F(d)