poj - 1185 炮兵阵地 状压DP 解题报告
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Description
假设在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它可以攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其他白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。
如今，将军们规划怎样部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证不论什么两支炮兵部队之间不能互相攻击。即不论什么一支炮兵部队都不在其它支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多可以摆放多少我军的炮兵部队。
Input
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符('P'或者'H')，中间没有空格。
按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。
Output
Sample Input
5 4 PHPP PPHH PPPP PHPP PHHP
Sample Output
6
题解：
假设用 dp[i]表示前i行所能放的最多炮兵数目， 是否能形成递推关系？ 显然不能。由于不满足无后效性。
依照加限制条件加维度的思想，加个限制条件：dp[i][j]表示第i行的炮兵布局为j的前提下，前i行所能放的最多炮兵数目布局为j体现了状态压缩。j是个10位二进制数，表示一行炮兵的一种布局。有炮兵的位置。相应位为1。没有炮兵的位置，相应位为0。
依旧不满足无后效性。因仅从 dp[i-1][k] (k = 0…1024) 无法推出dp[i][j]。达成 dp[i-1][k]可能有多种方案，有的方案同意第i行布局为j,有的方案不同意第i行布局为j，然而却没有信息能够用来进行分辨。
再加限制条件，再加一维：dp[i][j][k]表示第i行布局为j,第i-1行布局为k时,前i行的最多炮兵数目。
1）j,k这两种布局必须相容。否则 dp[i][j][k] = 0
2) dp[i][j][k] = max{dp[i-1][k][m], m = 0...1023} + Num(j), Num(j)为布局j中炮兵的数目, j和m必须相容, k和m必须相容。此时满足无后效性。
3) 初始条件：dp[0][j][0] = Num(j)dp[1][i][j] = max{dp[0][j][0]} + Num(i)
问题：dp数组为：int dp[100][1024][1024], 太大，时间复杂度和空间复杂度都太高。
解决：每一行里最多能放4个炮兵。就算全是平地，能放炮兵的方案数目也不超过60(用一遍dfs能够所有求出）算出一行在全平地情况下所有炮兵的排列方案，存入数组 state[70]int dp[100][70][70] 足矣。
dp[i][j][k]表示第i行布局为state[j],第i-1行布局为state[k]时,前i行的最多炮兵数目。
參考代码：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
int Map[N];
int dp[N][65][65];
int s[N], num[N];
int n, m, p;
bool check(int x) {
if(x & (x >> 1)) return false;
if(x & (x >> 2)) return false;
return true;
}
int Count(int x) {
int i = 1, ans = 0;
while(i <= x) {
if(x & i) ans++;
i <<= 1;
}
return ans;
}
void Init() {
p = 0;
memset(s, 0, sizeof(s));
memset(num, 0, sizeof(num));
for(int i = 0; i < (1 << m); i++) {
if(check(i)) {
s[p] = i;
num[p++] = Count(i);
}
}
}
int main() {
char ch;
int T;
scanf("%d%d", &n, &m);
if(!n && !m) {
printf("0\n");
}
else{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(Map, 0, sizeof(Map));
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < m; j++) {
cin >> ch;
if(ch == 'H')
Map[i] = Map[i] | (1 << (m - 1 - j)); //P为0，H为1
}
}
Init();
// printf("p = %d\n", p);
// for(int i = 0; i < p; i++) {
// printf("s[%d] = %d, num[%d] = %d\n", i, s[i], i, num[i]);
// }
for(int i = 0; i < p; i++) {
if(!(Map[0] & s[i]))
dp[0][i][0] = num[i];
}
for(int i = 0; i < p; i++) {
if(!(Map[1] & s[i])) {
for(int j = 0; j < p; j++) {
if((!(s[i] & s[j]))) {
dp[1][i][j] = max(dp[1][i][j], dp[0][j][0] + num[i]);
}
}
}
}
for(int r = 2; r < n; r++) {
for(int i = 0; i < p; i++) {
if(!(s[i] & Map[r])) {
for(int j = 0; j < p; j++) {
if(!(s[j] & Map[r-1])) {
if(!(s[i] & s[j])) {
for(int k = 0; k < p; k++) {
if(!(s[k] & Map[r-2])) {
if(!(s[j] & s[k])) {
if(!(s[i] & s[k])) {
dp[r][i][j] = max(dp[r][i][j], dp[r-1][j][k] + num[i]);
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
int ans = 0;
for(int i = 0; i < p; i++) {
for(int j = 0; j < p; j++) {
if(ans < dp[n-1][i][j])
ans = dp[n-1][i][j];
}
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
