分治法——循环赛日程安排问题
问题描写叙述:
设有n（2^k）位选手參加网球循环赛，循环赛共进行n-1天，每位选手要与其它n-1位选手比赛一场。且每位选手每天仅仅能赛一场，试安排比赛。
举例说明：
1，当n为偶数时，循环赛一共要进行n-1天；比方，有运动员：周董，信哥，蔡依林，小七。一共4个人，能够例如以下安排：
|
运动员 |
第一天 |
第二天 |
第三天 |
|
周董 |
信哥 |
蔡依林 |
小七 |
|
信哥 |
周董 |
小七 |
蔡依林 |
|
蔡依林 |
小七 |
周董 |
信哥 |
|
小七 |
蔡依林 |
信哥 |
周董 |
能够看出。当四个人比赛的时候，要比3天才干所有比完。
2，当n为奇数时，循环赛要进行n天；如图，现有运动员：周董，信哥。蔡依林
，比赛安排表例如以下：
|
运动员 |
第一天 |
第二天 |
第三天 |
|
周董 |
信哥 |
蔡依林 |
X |
|
信哥 |
周董 |
X |
蔡依林 |
|
蔡依林 |
X |
周董 |
信哥 |
能够看出，当n=3时，人数为奇数，而且出现轮空现象。
综上。我们能够得出一个基本结论
|
|
比赛次数= |
|
n为偶数 |
n-1天 |
|
n为奇数 |
n天 |
算法描写叙述：
依照分治策略，我们将n个选手先一分为二。每组n/2人。假设n为奇数，则（n+1）/2后分组。然后像我们一起的归并排序那样，一直分下去，直到最后仅仅有两个人比赛。
举例说明。6个人比赛。须要比赛5天，安排例如以下：
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
2 |
1 |
5 |
3 |
6 |
4 |
|
3 |
6 |
1 |
2 |
4 |
5 |
|
4 |
5 |
6 |
1 |
3 |
2 |
|
5 |
4 |
2 |
6 |
1 |
3 |
|
6 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
回忆我们的归并排序，归并排序是先分开。最后再合起来。
这里也是。
我们先将6个人分成2组。每组3个人（[1,2,3],[4,5,6]），然后发现3是个奇数。然后在每组中+1个虚拟人：X和Y；这样，每组就变成了4个人，然后将这4个人在除以2。我们就得到了一个两两组合的小的组。
首先来看[1,2]; [3,x]
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
3 |
X |
|
X |
3 |
将这两组合起来：
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
3 |
X |
|
X |
3 |
这样，第一天的比赛排好了，然后来排第二天的比赛。
接下来第二天让1跟3比較，这样2就仅仅能跟x比較了。
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
1 |
3 |
|
3 |
X |
1 |
|
X |
3 |
2 |
依此类推。第三天，让1跟x比較，2跟3比較：
|
1 |
2 |
3 |
x |
|
2 |
1 |
x |
3 |
|
3 |
X |
1 |
2 |
|
X |
3 |
2 |
1 |
这里要得到3个选手的比赛安排，所以，我们将假象的X去掉。并将它的位置以*取代：
|
1 |
2 |
3 |
* |
|
2 |
1 |
* |
3 |
|
3 |
* |
1 |
2 |
然后我们也依照这个规律，安排[4,5,6]的日程，得到表格
|
4 |
5 |
6 |
* |
|
5 |
4 |
* |
6 |
|
6 |
* |
4 |
5 |
将前3天的日程安排合并起来：
|
1 |
2 |
3 |
* |
|
2 |
1 |
* |
3 |
|
3 |
* |
1 |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
* |
|
5 |
4 |
* |
6 |
|
6 |
* |
4 |
5 |
我们能够看到，第一天。3和6都空暇。能够让他们比赛。第二天，2和5都空暇，能够让他们比赛；第三天。1和4空暇，让他们相互比赛。
所以，上表又一次安排，得到前3天的日程安排表：
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
5 |
3 |
|
3 |
6 |
1 |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
1 |
|
5 |
4 |
2 |
6 |
|
6 |
3 |
4 |
5 |
这样，我们就比較过了[1,2,3]和[4,5,6].
然后循环下，得到:
|
[1,2,3]& [5,6,4] |
[1,2,3]& [6,4,5] |
安排三天的比赛：
|
1 |
2 |
3 |
5 |
|
2 |
1 |
6 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
5 |
6 |
4 |
1 |
|
6 |
5 |
2 |
4 |
|
4 |
3 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
6 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
5 |
1 |
2 |
|
6 |
4 |
5 |
1 |
|
4 |
6 |
2 |
5 |
|
5 |
3 |
6 |
4 |
选取黄色的日程安排，增加到前3天的日程安排表中：
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
2 |
1 |
5 |
3 |
6 |
4 |
|
3 |
6 |
1 |
2 |
4 |
5 |
|
4 |
5 |
6 |
1 |
3 |
2 |
|
5 |
4 |
2 |
6 |
1 |
3 |
|
6 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
假设n恰好等于2^k，那么。安排日程表就变得比較简单了，我们先安排两位选手，
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
安排4位选手：
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
这时候，我们先依照两个选手的。将1和2的安排填好，然后填写左下角的安排，然后将左下角的元素抄到右上角，最后将左上角的元素抄到右下角。
小结：
分治法在将大问题一步一步两两分，直到划分成能够解决的小问题时，求出这些小问题的解，然后再将小问题合成大问题的解，可是前提是这些小问题在求解是不受到其它小问题的解的影响的。
