【BZOJ 2431】 [HAOI2009] 逆序对数列 （DP）

Description

对于一个数列{ai}，如果有i<j且ai>aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的
数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

Input

第一行为两个整数n，k。

Output

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input

4 1

Sample Output

3

样例说明：

下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；100%的数据 n<=1000，k<=1000

题解

设\(dp[i][j]\)表示前i个数逆序数为j，状态转移方程为：

\[dp[i][j]=\sum\limits_{k=0}^{k<=i-1}{dp[i-1][j-k]} \]

这样的状态转移是\(O(n^3)\)的，因此需要使用前缀和优化转移

代码

#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 30005
using namespace std;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void Out(ll a){
    if(a<0) putchar('-'),a=-a;
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const int N=1005;
const int MOD=10000;
int dp[N][N],sum[N][N];
int main(){
    int n=read(),k=read();
    dp[1][0]=1;
	for(int i=0;i<=k;i++) sum[1][i]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=k;j++){
			dp[i][j]=sum[i-1][j];
			if(j-i>=0) dp[i][j]-=sum[i-1][j-i];
			if(dp[i][j]<0) dp[i][j]+=MOD;
			dp[i][j]%=MOD;
		}
		sum[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=k;j++) sum[i][j]=(sum[i][j-1]+dp[i][j])%MOD;
	}
	Out(dp[n][k]);
    return 0;
}