【算法总结】图论相关

【最近公共祖先】

〖模板代码〗

  [倍增算法]

 1 void dfs(int k)
 2 {
 3     for(int i=1;(1<<i)<=deep[k];i++)
 4         x[k][i]=x[x[k][i-1]][i-1];
 5     for(int i=head[k];i;i=e[i].next) 
 6     {
 7         if(deep[e[i].to])continue;
 8         x[e[i].to][0]=k;
 9         deep[e[i].to]=deep[k]+1;
10         di[e[i].to]=di[k]+e[i].w;
11         dfs(e[i].to);
12     }
13 }
14 int lca(int ri,int rj)
15 {
16     if(deep[ri]<deep[rj])swap(ri,rj);
17     int d=deep[ri]-deep[rj]; 
18     for(int i=0;(1<<i)<=d;i++)
19         if((1<<i)&d)ri=x[ri][i];
20     if(ri==rj)return ri;
21     for(int i=16;i>=0;i--)
22         if((1<<i)<=deep[rj]&&x[ri][i]!=x[rj][i])
23             ri=x[ri][i],rj=x[rj][i];
24     return x[ri][0];
25 }
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  [树链剖分]

 1 void dfs1(int x)
 2 {
 3     sz[x]=1;
 4     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
 5     {
 6         int to=e[i].to;
 7         deep[to]=deep[x]+1;
 8         fa[to]=x;
 9         dfs1(to);sz[x]+=sz[to];
10         if(sz[to]>sz[son[x]])son[x]=to;
11     }
12 }
13 void dfs2(int x)
14 {
15     if(x==son[fa[x]])top[x]=top[fa[x]];
16     else top[x]=x;
17     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)dfs2(e[i].to);
18 }
19 int lca(int x,int y)
20 {
21     for(;top[x]!=top[y];deep[top[x]]>deep[top[y]]?x=fa[top[x]]:y=fa[top[y]]);
22     return deep[x]<deep[y]?x:y;
23 }
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〖相关题目〗

1.【codevs2370】小机房的树

题意：见原题

分析：见代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 const int maxn=50010;
 5 struct point{int from,to,v;}e[maxn*2];
 6 int n,m,cnt,a,b,c;
 7 int head[maxn],deep[maxn],x[maxn][17],di[maxn];
 8 //deep数组表示节点所在的层数，di数组表示节点到根节点的距离 
 9 //x[i][j]的含义为：节点i的祖先中与其相差2^j层的节点；例如，x[i][0]代表节点i的父亲 
10 bool f[maxn];//判断节点是否访问过 
11 void add(int a,int b,int c)//邻接表建边 
12 {cnt++;e[cnt].from=head[a];e[cnt].to=b;e[cnt].v=c;head[a]=cnt;}
13 void dfs(int k)
14 {
15     f[k]=true;
16     for(int i=1;(1<<i)<=deep[k];i++)
17         x[k][i]=x[x[k][i-1]][i-1];//递推得出x数组 
18     for(int i=head[k];i;i=e[i].from) 
19     {
20         if(!f[e[i].to])
21         {
22             x[e[i].to][0]=k;//将节点k标记为e[i].to的父亲 
23             deep[e[i].to]=deep[k]+1;//层数+1 
24             di[e[i].to]=di[k]+e[i].v;
25             dfs(e[i].to);
26         }
27     }
28 }
29 int solve(int ri,int rj)
30 {
31     if(deep[ri]<deep[rj])swap(ri,rj);
32     int d=deep[ri]-deep[rj]; 
33     for(int i=0;(1<<i)<=d;i++)//利用倍增思想，将ri节点跳到与rj节点同层 
34         if((1<<i)&d)ri=x[ri][i];
35     if(ri==rj)return ri;//找到最近公共祖先 
36     for(int i=16;i>=0;i--)
37         if((1<<i)<=deep[rj]&&x[ri][i]!=x[rj][i])
38             ri=x[ri][i],rj=x[rj][i];//同时往上跳，直到ri与rj为兄弟节点为止 
39     return x[ri][0];//返回他们的父亲 
40 }
41 int main()
42 {
43     scanf("%d",&n);
44     for(int i=1;i<n;i++)
45     {
46         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
47         add(a,b,c);
48         add(b,a,c);
49     }
50     dfs(0);//此处假设以0为根节点 
51     scanf("%d",&m);
52     while(m--)
53     {
54         scanf("%d%d",&a,&b);
55         printf("%d\n",di[a]+di[b]-2*di[solve(a,b)]);
56     }
57     return 0;
58 }
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【网络流】

〖相关知识〗

[无源汇有上下界可行流]

模型：给出一个网络，每条边的流量有一个上界 $H_i$ 和一个下界 $L_i$ ，每个点必须满足流量守恒。

分析：首先令每条边的流量等于 $L_i$ ，得到一个不一定满足流量守恒的初始流。令 $a_i$ 表示初始流中点 $i$ 的流入量-流出量。新建附加节点 $SS$ 和 $TT$ ，若 $a_i<0$ ，则新建一条从 $i$ 到 $TT$ 的容量为 $-a_i$ 的边；若 $a_i>0$ ，则新建一条从 $SS$ 到 $i$ 的容量为 $a_i$ 的边。直接跑最大流，若从 $SS$ 出发的所有边都是满流，则存在可行解。原图中每条边的流量为流量下界与附加流之和。

[有源汇有上下界可行流]

分析：从 $T$ 向 $S$ 连一条下界为 $0$ 上界为 $inf$ 的边，即可转化为无源汇有上下界可行流。

[有源汇有上下界最大流]

分析：在残量网络上跑 $S$ 到 $T$ 的最大流。

[有源汇有上下界最小流]

分析：在残量网络上跑 $T$ 到 $S$ 的最大流。

〖模板代码〗

  [最小割]

 1 int cnt=1;
 2 void insert(int u,int v,int w)
 3 {
 4     e[++cnt]=(edge){v,first[u],w};first[u]=cnt;
 5     e[++cnt]=(edge){u,first[v],0};first[v]=cnt;
 6 }
 7 bool bfs()
 8 {
 9     memset(dis,-1,sizeof(dis));
10     int head=0,tail=1;
11     q[head]=S;dis[S]=0;
12     while(head!=tail)
13     {
14         int u=q[head++];
15         for(int i=first[u];i;i=e[i].next)
16         {
17             int v=e[i].to;
18             if(dis[v]!=-1||!e[i].flow)continue;
19             dis[v]=dis[u]+1;
20             q[tail++]=v;
21         }
22     }
23     return dis[T]!=-1;
24 }
25 int dfs(int u,int a)
26 {
27     if(u==T||a==0)return a;
28     int f,flow=0;
29     for(int& i=cur[u];i;i=e[i].next)
30     {
31         int v=e[i].to;
32         if(dis[v]==dis[u]+1&&(f=dfs(v,min(e[i].flow,a)))>0)
33         {
34             e[i].flow-=f;e[i^1].flow+=f;
35             flow+=f;a-=f;if(a==0)break;
36         }
37     }
38     return flow;
39 }
40 int main()
41 {
42     while(bfs())
43     {
44         for(int i=S;i<=T;i++)cur[i]=first[i];
45         ans+=dfs(S,inf);
46     }
47     return 0;
48 }
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  [最小费用最大流]

 1 bool spfa()
 2 {
 3     memset(inq,0,sizeof(inq));memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
 4     int head=0,tail=1;q[0]=T;inq[T]=true;dis[T]=0;
 5     while(head!=tail)
 6     {
 7         u=q[head++];inq[u]=false;if(head>5000)head=0;
 8         for(int i=first[u];i;i=e[i].next)
 9         {
10             v=e[i].to;
11             if(e[i^1].flow>0&&dis[u]+e[i^1].cost<dis[v])
12             {
13                 dis[v]=dis[u]+e[i^1].cost;
14                 if(!inq[v])
15                 {
16                     if(dis[v]<dis[q[head]]){head--;if(head<0)head=5000;q[head]=v;}
17                     else{q[tail++]=v;if(tail>5000)tail=0;}
18                     inq[v]=true;
19                 }
20             }
21         }
22     }
23     return dis[S]<inf;
24 }
25 int dfs(int u,int a)
26 {
27     if(u==T||a==0)return a;
28     inq[u]=true;int f,flow=0;
29     for(int& i=cur[u];i;i=e[i].next)
30     {
31         v=e[i].to;
32         if(!inq[v]&&dis[u]==e[i].cost+dis[v]&&(f=dfs(v,min(e[i].flow,a)))>0)
33         {
34             e[i].flow-=f;e[i^1].flow+=f;
35             ans+=e[i].cost*f;flow+=f;a-=f;if(a==0)break;
36         }
37     }
38     return flow;
39 }
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〖相关题目〗

1.【codevs1993】草地排水

题意：见原题

分析：见代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<queue>
 5 using namespace std;
 6 int n,m,a,b,c,ans=0,ansn;
 7 int map[210][210],dis[210];//邻接矩阵储存图，dis数组储存分层后节点深度 
 8 bool bfs()//广搜建立层次图 
 9 {
10     queue<int>q;
11     memset(dis,-1,sizeof(dis));
12     q.push(1);
13     dis[1]=0;
14     while(!q.empty())
15     {
16         int u=q.front();
17         q.pop();
18         for(int i=1;i<=n;i++)
19             if(map[u][i]>0&&dis[i]<0)//从顶点u到顶点i的边容量不为0且节点i未被访问过 
20                 q.push(i),dis[i]=dis[u]+1;//层数+1，并将顶点i丢进广搜队列 
21     }
22     if(dis[n]<0)return false;//如果汇点不在层次图上，则算法结束 
23     return true;
24 }
25 int find(int k,int low)//在层次图上进行增广 
26 {
27     int s;
28     if(k==n||low==0)return low;
29     for(int i=1;i<=n;i++)
30         if(map[k][i]&&dis[i]==dis[k]+1&&(s=find(i,min(low,map[k][i]))))
31             {map[k][i]-=s;map[i][k]+=s;return s;}
32     return 0;
33 }
34 int main()
35 {
36     scanf("%d%d",&m,&n);
37     for(int i=1;i<=m;i++)
38     {
39         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
40         map[a][b]+=c;
41     }
42     while(bfs())
43         ans+=find(1,99999999);
44     printf("%d",ans);
45     return 0;
46 }
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【二分图匹配】

〖相关资料〗

《二分图匹配》

〖相关知识〗

点覆盖：对于图中所有的边，至少有一个端点属于该点集；最小点覆盖=最大匹配。

边覆盖：对于图中所有的点，该边集中至少有一条边以其为顶点；最小边覆盖=总点数-最大匹配。

独立集：该点集中任意两点之间都不存在边；最大独立集=总点数-最小点覆盖。

有向无环图最小不相交路径覆盖：用最少的不相交路径覆盖所有顶点；原图每个点i拆成i1与i2，若原图中如果存在边 (x, y)，那么就连接x1, y2，原图的最小路径覆盖=原图总点数 n - 二分图最大匹配 。

有向无环图最小可相交路径覆盖：用最少的可相交路径覆盖所有顶点；将原图做一次Floyd传递闭包，如果两个点x 可以到达 y，连接x1, y2，将问题转化为最小不相交路径覆盖。

链：链上任意两个点x, y，满足x 能到达y或y能到达x。

反链：链上任意两个点x, y互不可达；最长反链长度=最小链覆盖=有向无环图最小可相交路径覆盖；最长链长度 = 最小反链覆盖。

〖模板代码〗

 1 int push(int x)
 2 {
 3     for(int i=1;i<=m;i++)
 4         if(!f[i]&&map[x][i])
 5         {
 6             f[i]=true;
 7             if(link[i]==-1||push(link[i]))
 8             {
 9                 link[i]=x;
10                 return 1;
11             }
12         }
13     return 0;
14 }
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〖相关题目〗

1.【codevs2776】寻找代表元

题意：见原题

分析：无

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int n,m,link[210],to,ans;
 6 bool map[210][210],f[210];//邻接矩阵储存 
 7 int push(int x)
 8 {
 9     for(int i=1;i<=m;i++)
10     {
11         if(!f[i]&&map[x][i])
12         {
13             f[i]=true;
14             if(link[i]==-1||push(link[i]))
15             {
16                 link[i]=x;
17                 return 1;
18             }
19         }
20     }
21     return 0;
22 }
23 int main()
24 {
25     scanf("%d%d",&n,&m);
26     for(int i=1;i<=n;i++)
27         while(1)
28         {
29             scanf("%d",&to);
30             if(!to)break;
31             map[i][to]=true;
32         }
33     memset(link,-1,sizeof(link));
34     for(int i=1;i<=n;i++)
35     {
36         memset(f,0,sizeof(f));
37         ans+=push(i);
38     }
39     printf("%d",ans);
40     return 0;
41 }
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2.【bzoj1143】[CTSC2008]祭祀river

题意：给定一个有向无环图，求出最大的点集，使得点集中的点两两不可达。

分析：JoeFanの博客

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 int n,m,u,v,ans,link[205];
 7 bool map[205][205],f[205];
 8 int read()
 9 {
10     int x=0,f=1;char c=getchar();
11     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
12     while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 int push(int x)
16 {
17     for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
18     {
19         if(!f[i]&&map[x][i])
20         {
21             f[i]=true;
22             if(link[i]==-1||push(link[i]))
23                 {link[i]=x; return 1;}
24         }
25     }
26     return 0;
27 }
28 int main()
29 {
30     n=read();m=read();
31     for(int i=1;i<=m;i++)
32     {
33         u=read();v=read();
34         map[u][v]=true;
35     }
36     for(int k=1;k<=n;k++)
37         for(int i=1;i<=n;i++)
38             for(int j=1;j<=n;j++)
39                 if(map[i][k]&&map[k][j])map[i][j]=true;
40     for(int i=1;i<=n;i++)map[i][i]=false;
41     for(int i=1;i<=n;i++)
42         for(int j=1;j<=n;j++)
43             if(map[i][j])map[i][j+n]=true,map[i][j]=false;
44     memset(link,-1,sizeof(link));
45     for(int i=1;i<=n;i++)
46     {
47         memset(f,0,sizeof(f));
48         ans+=push(i);
49     }
50     printf("%d\n",n-ans);
51     return 0;
52 }
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【最小生成树】

〖模板代码〗

 1 int find(int t){return f[t]==t?t:f[t]=find(f[t]);}
 2 int main()
 3 {
 4     n=read();m=read();
 5     for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
 6     for(int i=1;i<=m;i++)e[i].x=read(),e[i].y=read(),e[i].w=read();
 7     sort(e+1,e+m+1,cmp);
 8     for(int i=1;i<=m;i++)
 9     {
10         x=find(e[i].x);y=find(e[i].y);
11         if(x==y)continue;
12         f[x]=y;ans+=e[i].w;num++;
13         if(num==n-1)break;
14     }
15     if(num==n-1)printf("%d",ans);
16     else printf("-1");
17     return 0;
18 }
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【最短路】

〖模板代码〗

 1 struct node{int id;LL d;bool operator <(const node& a)const{return d>a.d;}};
 2 priority_queue<node>q;
 3 void ins(int u,int v,int w){e[++cnt]=(edge){v,first[u],w};first[u]=cnt;}
 4 int main()
 5 {
 6     for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=inf;
 7     dis[S]=0;q.push((node){S,0});
 8     while(!q.empty())
 9     {
10         node t=q.top();q.pop();u=t.id;
11         if(dis[t.id]!=t.d)continue;
12         for(int i=first[u];i;i=e[i].next)
13             if(dis[e[i].to]>dis[u]+e[i].w)
14                 dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].w,q.push((node){e[i].to,dis[e[i].to]});
15     }
16 }
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【有向图的强连通分量】

〖模板代码〗

 1 void tarjan(int x)
 2 {
 3     low[x]=dfn[x]=++tim;
 4     sta[++top]=x;vis[x]=true;
 5     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
 6     {
 7         int to=e[i].to;
 8         if(!dfn[to])tarjan(to),low[x]=min(low[x],low[to]=min(low[x],low[to]));
 9         else if(vis[to])low[x]=min(low[x],dfn[to]);
10     }
11     if(low[x]==dfn[x])
12     {
13         color++;
14         while(sta[top]!=x)vis[sta[top]]=false,c[sta[top--]]=color;
15         vis[x]=false;c[x]=color;top--;
16     }
17 }
18 int main()
19 {
20     for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
21     return 0;
22 }
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【无向图的点双连通分量】

〖模板代码〗

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm> 
 3 #include<cstring>
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 const int N=1e5+5;
 7 int n,m,x,y,cnt=1,tim,ans;
 8 int first[N],dfn[N],low[N];
 9 bool iscut[N];
10 struct edge{int to,next;}e[N*2];
11 int read()
12 {
13     int x=0,f=1;char c=getchar();
14     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
15     while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
16     return x*f;
17 } 
18 void ins(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}
19 void tarjan(int x,int fa)
20 {
21     dfn[x]=low[x]=++tim;
22     int son=0;
23     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
24     {
25         int to=e[i].to;
26         if(to==fa)continue;
27         if(!dfn[to])
28         {
29             son++;tarjan(to,x);
30             low[x]=min(low[x],low[to]);
31             if(low[to]>=dfn[x])iscut[x]=true;
32         }
33         else low[x]=min(low[x],dfn[to]);
34     }
35     if(fa<0&&son<=1)iscut[x]=false;
36 }
37 int main()
38 {
39     n=read();m=read();
40     for(int i=1;i<=m;i++)
41     {
42         x=read();y=read();
43         ins(x,y);ins(y,x);
44     }
45     for(int i=1;i<=n;i++)
46         if(!dfn[i])tarjan(i,-1);
47     for(int i=1;i<=n;i++)
48         if(iscut[i])ans++;
49     printf("%d\n",ans);
50     for(int i=1;i<=n;i++)
51         if(iscut[i])printf("%d ",i);
52     return 0;
53 }
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posted @ 2018-04-20 06:58  Zsnuo  阅读(209)  评论(0)  编辑  收藏  举报