大物知识点、公式、常量汇总 \(\mathrm{I}\)
参考《工程物理学》（第二版，主编：诸葛向彬）。
质点运动学、动量、能量、角动量、刚体力学
2-1~2-4
自然坐标系：取运动曲线在当前点的切向和法向建系。则有结论：
\[\begin{aligned}
a_{\tau} &= \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \\
a_{n} &= \dfrac{v^2}{\rho}
\end{aligned}
\]
其中 \(\rho\) 为该点处的曲率半径，由数学定义。圆周运动则为圆的半径。
3-1~3-5
动量定理
\[\overrightarrow{I} = \Delta \overrightarrow{p}
\]
或者：
\[\int_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}\mathrm{d}t = m\overrightarrow{v_2} - m\overrightarrow{v_1}
\]
对于元过程：
\[\overrightarrow{F}\mathrm{d}t = \mathrm{d}\overrightarrow{p}
\]
3-6
非惯性系：引入非惯性力 \(F = -ma\)，即可使用牛顿定律分析。
4-1
动能定理：
先定义功：
\[W = \int_1^2\overrightarrow{F} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s}
\]
则有：
\[W = E_{k2} - E_{k1}
\]
功率：
\[P = \dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v}
\]
4-2、4-4
势能：
定义 \(\overrightarrow{F}\) 为保守力当他满足对于任意环路 \(L\)：
\[\oint_L \overrightarrow{F} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s} = 0
\]
由格林公式的推论，此时 \(\overrightarrow{F}\) 的做功与路径无关，而仅与运动的起点、终点有关。
定义势能函数 \(U\) 使其满足对于任意两点 \(a,b\)：
\[W_{ab} = U_a - U_b = -\Delta U_{ab}
\]
以及势能零点 \(x_0\) 满足 \(U(x_0) = 0\)，则有：
\[U(x) = U(x) - U(x_0) = \int_{x}^{x_0} \overrightarrow{F} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s}
\]
一维情况：
\[U(x) = \int_{x}^{x_0} F\mathrm{d}x
\]
推论：
\[F = - \dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}
\]
4-3
机械能守恒定律：
令 \(E = E_k + U\) 表示机械能，则：
外力与非保守内力的总功为零时，系统的机械能守恒。
能量守恒定律：
能量不能产生或消灭，只能转移或转化。
5-1~5-2
角动量定义：相对于一个参考点 \(O\)。
\[\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}
\]
单位是 \(\mathrm{kg \cdot m^2 / s}\)。
力矩：
\[\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}
\]
则有：
\[\overrightarrow{M} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{L}}{\mathrm{d}t}
\]
因此合外力矩为零时角动量守恒。这就是角动量守恒定律。
推论：有心力作用下的质点对力心角动量守恒。
推论：开普勒第二定律中，\(\dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \dfrac L {2m}\)。
5-3
对称性与守恒律是一一对应的。
例如空间平移不变性对应动量守恒定律，时间平移不变性对应能量守恒定律，空间转动不变性对应角动量守恒定律。
6-1~6-3
刚体：理想模型。有平动和转动两种运动方式。
其中转动需要规定转轴，可以定义角速度与角加速度。
质心：
\[\overrightarrow{r_c} = \dfrac{\int \overrightarrow{r}\mathrm{d}m}{m}
\]
转动惯量：记每个质量元相对转轴的距离为 \(r\)，则有：
\[J = \int r^2 \mathrm{d}m
\]
转动惯量在研究转动时的地位相当于研究平动时的质量，反映出物体本身具有的性质。
平行轴定理：
质量为 \(m\) 的刚体相对于通过其质心的轴转动惯量为 \(J_c\)，则通过与此轴平行，相距为 \(d\) 的轴转动惯量为：
\[J = J_c + md^2
\]
垂直轴定理：
平放在 \(xOy\) 平面上薄片相对于各个坐标轴的转动惯量有以下关系式：
\[J_z = J_x + J_y
\]
记刚体绕定轴转动的角速度为 \(\omega\)，角加速度为 \(\beta\)。则有：
刚体定轴转动定律：
\[M = J\beta
\]
角动量定理：
\[\int_0^t M \mathrm{d}t = L - L_0 = J\omega - J\omega_0
\]
力矩做功：
\[W = \int_{\phi_1}^{\phi_2} M\mathrm{d}\phi
\]
转动动能：
\[E_k = \dfrac 12 J w^2
\]
同理有动能定理。转动的物理量与定律均能在平动中找到对应。
万有引力
7-1
开普勒三定律：轨道定律、面积定律、\(\dfrac {a^3}{T^2} = K\)。
7-2~7-4
万有引力定律：
\[F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}
\]
\(G\) 的测定：卡文迪许扭称实验。
引力势能：\(U = - G\dfrac{Mm}{r}\)
相对论
8-1~8-2
牛顿力学体系遇到了无法修补的漏洞：对光速、电磁波速不变现象的解释。
爱因斯坦两个基本假设：
- 相对性原理。所有惯性系等价平权，物理定律在其中形式相同；
- 光速不变原理。任何惯性系中光在真空中的传播速率都相等，为 \(c = 3 \times 10^8 \,\mathrm{m /s}\)。
8-3
洛伦兹变换：记 \(v\) 为 \(S'\) 惯性系相对于 \(S\) 惯性系的运动速度，仅在 \(x\) 坐标上有相对运动，一个事件在 \(S,S'\) 中的时空坐标为 \((z,y,z,t)\) 与 \((x',y',z',t')\)，则有：
\[\begin{aligned}
\beta &= \dfrac vc \\
x' &= \dfrac{x - vt}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
t' &= \dfrac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{aligned}
\]
8-4
同时的相对性：
- \(S\) 中同时同地 \(\Leftrightarrow\) \(S'\) 中同时同地
- \(S\) 中同时异地 \(\Rightarrow\) \(S'\) 中异时异地
- \(S\) 中异时同地 \(\Rightarrow\) \(S'\) 中异时异地
尺缩效应：一个尺子与 \(S'\) 固定（相对 \(S’\) 静止）。\(S'\) 相对于 \(S\) 以 \(v\) 速率运动。
在 \(S'\) 系中测量它的长度，则长度为 \(x_1' - x_2'\)。
在 \(S\) 系中测量它的长度，必须同时测两端坐标，其两端坐标为 \((x_1,y,z,t)\) 和 \((x_2,y,z,t)\)，有：
\[\begin{aligned}
x_1' &= \dfrac{x_1 - vt}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
x_2' &= \dfrac{x_2 - vt}{\sqrt{1-\beta^2}} \\
\end{aligned}
\]
推出：
\[x_1' - x_2' = \dfrac{x_1 - x_2}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]
由 \(\beta = \dfrac vc < 1\)，知测出的长度 \(S\) 系比 \(S'\) 系测的短，也即静止的人看运动的东西觉得它在相对运动的方向变短，这便是尺缩效应。
同理还有钟慢效应，不再赘述。
8-5
值得提醒的是由于时间受到影响，另外两个坐标的速度也变化。
\[\begin{aligned}
u_x' &= \dfrac{u_x - v}{1 - \frac{u_xv}{c^2}} \\
u_y' &= \dfrac{u_y\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \frac{u_xv}{c^2}} \\
u_z' &= \dfrac{u_z\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \frac{u_xv}{c^2}} \\
\end{aligned}
\]
8-6~8-9
注意质量守恒指的是动质量守恒。
\[m = \dfrac {m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}
\]
动量乘以 \(v\) 就行，对力 \(F\) 牛顿第二定律多出一项 \(v \dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\)。
质能方程：
\[E = mc^2
\]
动能：
\[E_k = (m - m_0)c^2
\]
动质能三角形：
\[E^2 = E_0^2 + p^2c^2
\]
对于静止质量为零的光子、中微子等有：
\[E = pc
\]
机械振动、机械波
9-1~9-5
简谐振动的表达式：
\[x = A \cos (\omega t + \phi)
\]
只要力与位移关系能够表示成 \(F = -kx\)，就都是简谐振动。
速度、加速度求导即可，\(v_m = A\omega, a_m = A\omega^2\)。
弹簧振子：\(w = \sqrt{\dfrac km}\)；单摆：\(w = \sqrt{\dfrac gl}\)；复摆：\(w = \sqrt{\dfrac {mgb}{J}}\)。
简谐振动合成：旋转矢量法。
利萨如图形：横竖画交点，交点个数比等于周期反比。
10-1~10-2
频率 \(\nu = \dfrac 1T\)，角频率 \(\omega = \dfrac {2\pi}{T}\)。
波速、波长、频率基本关系式：
\[u = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda\nu
\]
波程相位差与传播时间关系：
\[\dfrac{\Delta x}{\lambda} = \dfrac{\Delta \phi}{2\pi} = \dfrac{\Delta t}{T}
\]
平面简谐波余弦表达式：
\[y = A\cos(w(t - \dfrac xu) + \phi) = A\cos (2\pi(\dfrac tT - \dfrac x\lambda) + \phi)
\]
10-3
能量与能量密度：
令 \(\phi = 0\)，则波的能量密度 \(w = \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}V} = \rho A^2 \omega^2 \sin^2(\omega(t - \dfrac{x}{u}))\)。
平均能量密度：
\[\overline{w} = \dfrac 12 \rho A^2 \omega^2
\]
能流与能流密度：
单位时间通过某一面积的能量称为能流。
能流密度：单位时间垂直通过单位面积的能量。则对平均能流密度 \(I\) 有：
\[I = \overline{w}u = \dfrac 12 \rho A^2 \omega^2 u
\]
平均能流密度又称为波的强度。
球面简谐波表达式：
\[y = \dfrac {A}{r} \cos{(w(t - \dfrac ru) + \phi)}
\]
式中 \(A = A_1r_1\)。
10-4
波的干涉
\[\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 - 2\pi\dfrac{r_2 - r_1}{\lambda}
\]
\(\Delta \phi\) 为 \(2k\pi\) 干涉相长，为 \((2k+1)\pi\) 干涉相消。
10-5
驻波有波腹与波节。能量在波节中传播。各质点分段振动。
半波损失：从波疏介质射到波密介质，反射时发生。
10-6
多普勒效应：相互靠近则接收频率变高，反之变低。
取介质为参考系，波速为 \(u\)。
\[\nu_r = \dfrac{u \pm v_r}{u \mp v_s}\nu_s
\]
气体动理论
11-1
（标况）分子摩尔体积：
\[V_m = 22.4 \times 10^{-3} \,\mathrm{m^3 / mol}
\]
气体常量：
\[R = 8.31 \,\mathrm{J \cdot mol^{-1} \cdot k^{-1}}
\]
推导：由理想气体状态方程
\[pV = \nu RT
\]
得
\[R = \dfrac{p_0V}{T_0\nu} = \dfrac{p_0 V_m}{T_0}
\]
代入标况的压强和温度以及分子摩尔体积计算得到。
玻尔兹曼常量：
\[k = \dfrac {R}{N_A} = 1.38 \times 10^{-23} \,\mathrm{J/K}
\]
11-2
统计假设：气体分子速度沿各个方向的分量的各种平均值相等。
如：
\[\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} (= \dfrac13 \overline{v^2})
\]
压强公式：
\[p = nm\overline{v_x^2} = \dfrac13 nm \overline{v^2} = \dfrac13 \rho \overline{v^2} = \dfrac23 n\overline{\epsilon_{t}}
\]
式中 \(n\) 为分子数密度， \(m\) 为单个分子质量。注意有结论 \(\rho = nm\)。
式中 \(\overline{\epsilon_{t}} = \dfrac12 m \overline{v^2}\) 是分子的平均平动动能。
温度公式：
联立压强公式和 \(p = nkT\) 可解出：
\[\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}
\]
式中 \(\mu\) 是摩尔质量，注意单位要换算成 \(\mathrm{kg/mol}\)。
式中 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) 被称为理想气体分子的方均根速率。
11-3
能均分定理：
理想气体分子每一个自由度的平均动能为 \(\dfrac12 kT\)。故采用刚性分子模型时 \(1\) 个分子（平均意义下），\(1 \,\mathrm{mol}\) 分子理想气体，质量为 \(M\) 的理想气体的热力学能分别为：
\[\begin{aligned}
\overline{\epsilon} &= \dfrac i2 kT \\
E_m &= N_A\overline{\epsilon} = \dfrac i2 RT \\
E &= \dfrac M{\mu} \dfrac i2 RT
\end{aligned}
\]
式中 \(i\) 为自由度，单原子气体为 \(3\)，双原子气体为 \(5\)，多原子气体为 \(6\)。
11-4
麦克斯韦速率分布律：
\[\dfrac{\mathrm{d}N}{N} = 4\pi(\dfrac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{\frac{-mv^2}{2kT}}v^2\mathrm{d}v
\]
式中 \((\dfrac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}\) 为归一化因子，\(e^{\frac{-mv^2}{2kT}}\) 为玻尔兹曼因子，\(4 \pi v^2 \mathrm{d}v\) 为相空间因子。
应用其求解统计意义下的两种速率。
最概然速率：
\[v_p = \sqrt{\dfrac {2kT} {m}} = \sqrt{\dfrac {2RT} {\mu}}
\]
平均速率：
\[\overline{v} = \sqrt{\dfrac {8kT} {\pi m}} = \sqrt{\dfrac {8RT} {\pi \mu}}
\]
11-5
玻尔兹曼分布律：
原公式省略。玻尔兹曼因子：\(e^{-\frac{\epsilon}{kT}}\)。
按位置分布：
\[n = n_0e^{-\frac{u}{kT}}
\]
\(u\) 为势能，如 \(u = mgh\)，\(n_0\) 为势能零点处的分子数密度。
11-6
碰撞频率和分子自由程：
\[\begin{aligned}
\overline{Z} &= \sqrt{2}\pi d^2 \overline{v} n \\
\overline{\lambda} &= \dfrac 1{\sqrt{2}\pi d^2n} = \dfrac {kT}{\sqrt{2}\pi d^2p}
\end{aligned}
\]
热力学基础
12-1
元功：
\[\mathrm{d}W = p\mathrm{d}V
\]
积分有：
\[W = \int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V
\]
功是过程量。
热力学第一定律：
\[Q = \Delta E+W
\]
元过程中：
\[\mathrm{d}Q = \mathrm{d}E + \mathrm{d}W
\]
12-2
热容/比热容/摩尔热容：
\[\begin{aligned}
C &= \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \\
c &= \dfrac{C}{M} = \dfrac{1}{M} \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \\
C_m &= \dfrac{C}{\nu} = \dfrac{1}{\nu} \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} = \mu c
\end{aligned}
\]
\(Q\) 与过程有关，因而摩尔热容 \(C_m\) 也与过程有关。
定体摩尔热容：
由 \(V\) 不变，知 \(W = \int p\mathrm{d}V = 0\)，得：
\[Q = \Delta E = \nu\cdot\dfrac i2 R\Delta T
\]
于是有：
\[C_V = \dfrac{1}{\nu} \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} = \dfrac i2R
\]
定压摩尔热容：
类似分析知：
\[\mathrm{d}Q = \mathrm{d}E + \mathrm{d}W = \mathrm{d}E + p\mathrm{d}V = \nu\dfrac i2R\mathrm{d}T + \nu R\mathrm{d}T
\]
于是有：
\[C_p = \dfrac{1}{\nu} \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} = \dfrac i2R + R = \dfrac{i + 2}{2} R
\]
可得结论：
\[C_p - C_V = R
\]
定义比热容比：
\[\gamma = \dfrac{C_p}{C_V} = 1 + \dfrac 2i
\]
可通过测量比热容比来确认分子的原子个数（单/双/多）。
12-3
等体 / 等压过程：
\[\begin{aligned}
Q_V &= \nu C_V\Delta T \\
Q_p &= \nu C_p\Delta T
\end{aligned}
\]
等温过程：
\(T\) 不变，故有：
\[pV = \nu RT = C
\]
此时 \(p - V\) 图像是反比例函数。积分有：
\[W = \int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V = \int_{V_1}^{V_2} \dfrac{\nu RT}{V} \mathrm{d}V = \nu RT \ln{\dfrac{V_2}{V_1}} = \nu RT \ln{\dfrac{p_1}{p_2}}
\]
\(T\) 不变则 \(\Delta E = 0\)，于是有：
\[\begin{aligned}
Q_T &= W = \nu RT \ln{\dfrac{V_2}{V_1}} = \nu RT \ln{\dfrac{p_1}{p_2}} \\
C_T &= \pm \infty
\end{aligned}
\]
绝热过程：
\(Q = 0\)。由 \(\mathrm{d}W = -\mathrm{d}E\) 展开知：
\[p\mathrm{d}V = -\nu C_V \mathrm{d}T
\]
由理想气体状态方程两边微分得：
\[p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p = \nu R\mathrm{d}T = \nu(C_p - C_V)\mathrm{d}T
\]
上两式相减得：
\[V\mathrm{d}p = \nu C_p\mathrm{d}T
\]
此式与一式相除得：
\[\dfrac{\mathrm{d}p}{p}+\gamma\dfrac{\mathrm{d}V}{V} = 0
\]
积分可知：
\[pV^{\gamma} = C_1
\]
此即泊松方程。
可以带入 \(T\) 以换掉 \(p\) 或 \(V\)，此处省略。
因为 \(\gamma > 1\)，所以 \(V\) 增大时 \(p\) 在绝热过程中下降更快，则绝热线比等温线更陡。
绝热过程的做功：
法一：
\[W = -\Delta E = \nu C_V (T_1 - T_2)
\]
法二：
\[W = \int_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V = \int_{V_1}^{V_2} C_1 V^{-\gamma}\mathrm{d}V = \dfrac{C_1}{1-\gamma}(V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma}) = \dfrac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma-1}
\]
多方过程：
有时变化的过程介于以上几种过程之间。称满足：
\[pV^n = C
\]
的过程为多方过程，其中 \(n\) 为多方指数。
不难看出等压过程（\(n = 0\)），等体过程（\(n = \infty\)），等温过程（\(n = 1\)），绝热过程（\(n = \gamma\)）均为多方过程。
求多方过程的热容：
\[\begin{aligned}
V\mathrm{d}p + np \mathrm{d}V &= 0 \\
p\mathrm{d}V + V \mathrm{d} p &= \nu R\mathrm{d}T \\
\mathrm{d}Q &= \nu C_V \mathrm{d}T + p\mathrm{d}V
\end{aligned}
\]
联立解得
\[\mathrm{d}Q = \nu(C_V+\dfrac{R}{1-n})\mathrm{d}T
\]
因此
\[C_n = C_V + \dfrac{R}{1-n} = C_V(1 + \dfrac{2}{i(1-n)}) = \dfrac{n-\gamma}{n-1}C_V
\]
求多方过程的做功：
同绝热过程可得
\[W = \dfrac{p_1V_1 - p_2V_2}{n-1}
\]
其中等温过程需要特判。
12-4
循环过程：一个循环后系统恢复原状态。\(\Delta E = 0\)
正循环：气体吸热对外做功。记净吸热为 \(Q_1\)，净放热为 \(Q_2\)，气体对外界做的功为：
\[W = Q_1- Q_2
\]
定义热机的效率：
\[\eta = \dfrac W{Q_1} = \dfrac{Q_1 - Q_2}{Q_1}
\]
逆循环：气体放热，外界对气体做功。记净放热为 \(Q_1\)，净吸热为 \(Q_2\)，外界对气体做的功为：
\[W = Q_1- Q_2
\]
定义制冷系数：
\[\omega = \dfrac{Q_2}W = \dfrac{Q_2}{Q_1 - Q_2}
\]
卡诺循环：效率最高。由等温过程和绝热过程组成。
\[\begin{aligned}
\eta_k = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1} \\
\omega_k = \dfrac{T_2}{T_1 - T_2}
\end{aligned}
\]
12-5
热力学第二定律：
开尔文表述强调热与功的关系；克劳修斯表述强调热的传递方向。通过构造热机可以证明两者等价。
可以结合可逆过程的概念推出卡诺定理。
12-6
克劳修斯等式（对卡诺循环）：
\[\dfrac{Q_1}{T_1} + \dfrac{Q_2}{T_2} = 0
\]
推广到任意可逆过程：
\[\oint\dfrac{\mathrm{d}Q}{T} = 0
\]
这说明 \(\int_A^B \dfrac{\mathrm{d}Q}{T}\) 仅与始末状态 \(A, B\) 有关。即可以定义状态函数 \(S\)：
\[S_B - S_A = \int_A^B \dfrac{\mathrm{d}Q}{T}
\]
把 \(S\) 称为熵。
对于元过程：
\[\mathrm{d}S = \dfrac{\mathrm{d}Q}{T}
\]
代入热力学第一定律有：
\[T\mathrm{d}S = \mathrm{d}E + p\mathrm{d}V
\]
也即理想气体的热力学基本关系式。
熵增加原理：
对任意过程有：
\[S_B - S_A \ge \int_A^B \dfrac{\mathrm{d}Q}{T}
\]
等号仅在可逆过程中成立。
经历绝热过程时：
\[\mathrm{d}Q = 0
\]
则：
\[\mathrm{d}S \ge \dfrac{\mathrm{d}Q}T = 0
\]
于是有：一个孤立系统的熵永不减少。
熵变公式：
联立：
\[\begin{aligned}
\mathrm{d}S &= \dfrac{\nu C_V \mathrm{d} T + p\mathrm{d} V}{T} \\
\dfrac{\mathrm{d}T}T &= \dfrac{\mathrm{d}V}V + \dfrac{\mathrm{d}p}p
\end{aligned}
\]
其中二式是理想气体状态方程的微分，可得：
\[\begin{aligned}
S_B - S_A &= \nu R \ln{\dfrac{V_B}{V_A}} + \nu C_V \ln{\dfrac{T_B}{T_A}} \\
&=\nu C_p \ln{\dfrac{T_B}{T_A}} - \nu R \ln{\dfrac{p_B}{p_A}} \\
&=\nu C_V \ln{\dfrac{p_B}{p_A}} + \nu C_p \ln{\dfrac{V_B}{V_A}}
\end{aligned}
\]
规律就是两个 \(\nu C \ln \dfrac{*_A}{*_B}\) 相加，比如说选 \(p, V\)，\(C\) 一定是对家所对应的 \(C\)。那么填一下空就行。
特别地，\(T\) 对应的是 \(R\)，\(T\) 与 \(p\) 的组合 \(p\) 项加个负号。
浙公网安备 33010602011771号