Teza Round 解题报告(CF Round 1015)
Teza Round 1 (Codeforces Round 1015, Div. 1 + Div. 2)
Kill Time 是指想出思路的时间，> 20 min 记为 inf.
A
Kill Time : 2 min(in contest), 6 min(totally solved).
看样例，一眼猜偶数无解，奇数 \(n, 1, 2, ...\), 场上自信提交就行无需证明。
奇数容易验证，偶数的证明：
考虑有 \(\dfrac n2\) 个位置需要模偶数后得到奇数，而且它们隔一个摆一个所以不能共用。这些位置都必须用奇数。
然而奇数 \(1\) 用不了，最多也就能用 \(\dfrac n2 - 1\) 个。寄了。
B
Kill Time : 3 min
明显破局点在 min 上，记全局最小值为 \(a_i = x\)。
- \(a_i\) 分到 min 这边（叫它左边）。那么左边塞多少数字都不影响，所以右边的策略就是所有 \(x\) 的倍数放进来，看 gcd 是不是 \(x\)。
- \(a_i\) 分到 gcd 这边。此时左边 \(\ge x\)，右边 \(\le x\)，所以唯一可能也是相等。那么左边仍然可以随意放，但是必须至少放一个 \(a_j = x\)。所以不如 1 的分法。
C
Kill Time : 3 min
可以想象一个上下两层的骨牌在移动，同一个位置 \(a\) 和 \(b\) 相对位置不变。
于是有解必然是可以两两配对，\(a_i = b_j, a_j = b_i\)，奇数多一个 \(a_i = b_i\)。
输出方案也没有要求最少步数，直接一个一个确定就行。
D
Kill Time : 5 min
\(f(b)\) 是 \(b\) 序列每次可以删掉 \(k\) 个连续的数字，最多删 \(m\) 次，留下的数字求 mex 最小是多少。保证删不完。
求 \(b\) 使其 \(f(b)\) 最大。
二分是否 \(f(b)\) 可以 \(> x\)，如果是，从 \(0\) 到 \(x\) 每一种（比如 \(i\)）都只删 \(m\) 次删不完。也即至少有 \(m + 1\) 个数字 \(i\)，每两个之间下标差 \(\ge k\)。
那么就可以尽可能密堆积它们，看看至少要使用的下标数是否 \(\le n\) 即可。
构造不再赘述。
E
Kill Time : inf
\(O(n^3)\) 容易想，但是优化没有想出来 qwq
考虑确定的 \(a\) 怎么求 \(\sum_{i,j}mex(a_i, \cdots, a_j)\)，运用阿贝尔变换，变成
这个条件等价于 \(0, 1, \cdots, k - 1\) 都在 \([i, j]\) 区间里出现过。可以枚举 \(k\)，再看看左右至少取到哪里。
\(a\) 不确定时，\(O(n ^ 3)\) 的做法直接枚举 \(i, j, k\) 算有多少种填法满足该条件，也就是拆贡献。那么前提必须 \(0, 1, \cdots, k - 1\) 确定位置的数字都在 \([i, j]\) 中。然后记 \(-1\) 总数为 \(t\)，\([i, j]\) 中有 \(c\) 个 \(-1\)，\(c'\) 个 \(0, 1, \cdots, k - 1\) 中不确定位置的数字。贡献为：
时间复杂度 \(O(n^3)\)。
优化的关键是知道变量的依赖关系：\(k\) 确定后 \(c'\) 确定。再枚举 \(c\)，统计 \(f_{c, k}\) 表示满足 \(c, k\) 下的前提条件的 \([i, j]\) 总数。最后乘以系数累加就行。
\(f_{c, k}\) 求法：枚举 \([i, j]\) 后 \(c\) 确定。再看看不在 \([i, j]\) 中的 \(0, 1, n - 1\) 里最小的确定位置的数字（也即它在 \([i, j]\) 外出现过）是哪个，记为 \(x\)，那么 \(f_{c, 0}, \cdots, f_{c, x - 1}\) 统一加上 \(1\) 即可。
时间复杂度 \(O(n^2)\)。
F
Kill Time : 17 min
考虑如果有一对数字 \(i < j\)，如果 \(a\) 中 \(i\) 出现的比 \(j\) 早，而 \(b\) 中相反，那就寄了。
所以 \(a\) 中的正序关系都必须保持。从小到大考虑 \(b\) 中没确定的数 \(i\)，\(i\) 能填的区域一定是一段区间里面的空位。这段区间内肯定小的优先选最左边的空位。时间复杂度线性对数以内。
题解的贪心略有不同，此题有待验证。
G
Kill Time: inf
先看确定了 \(c\)，博弈的部分：结论是 \(c\) 长度为奇数时 \(f(c) = \max(c_1, c_k)\)， \(c\) 长度为偶数时 \(f(c) = \min(c_1, c_k)\)。
比如奇数时 \(c_1 > c_k\)：最后一步由 Piggy 来走，那么 Turtle 操作时一定至少有三个数字，它可以不要去动 \(c_1\) ，最后一步 Piggy 会把某个数和 \(c_1\) 合并。留下的 \(\ge c_1\)。Piggy 也可以做到让答案 \(\le c_1\)，因为它除了最后一步操作时一定都至少有四个数字，可以不去动两边，最后一步合并 \(c_1,c_k\)。博弈的结果就是 \(c_1\)。
那么对于确定的 \(b\)，有（抄题解的化简）：
引用自：官方题解 https://codeforces.com/blog/entry/141155。
考虑 \(\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = i + 1}^n [i \bmod 2 \neq j \bmod 2] |b_i - b_j|\) 求最小值，可以 DP，从 \(1\) 到 \(n\) 依次填位置。因为填的位置不重要，奇偶性重要。
考虑记录 \(f_{i,j}\) 表示填了 \(1\) 到 \(i\) 的数字，有 \(j\) 个填了偶数位，目前从 \(1\) 到 \(i\) 的数字的贡献的最小值。有用到费用提前计算。转移分 \(i\) 是奇是偶从前面转移过来就行。答案取 \(f_{n, \lceil\frac{n}{2}\rceil}\)。
优化就是写出转移式子化简，用数据结构加速。喜闻乐见的数据结构大师环节。
H
Kill Time : inf
这对吗想的与题解又不太一样。
考虑从后往前依次选择要不要保留，记录 \(f_{i,0/1,0/1}\) 表示已经做好了 \([i,n]\) 中的选择，当前最左边两位是什么。考虑转移，前一位可以保留，但删除的话需要这三位不是 100 或者 011。
但是题目中并不关心你删去了哪些位置，只管你保留的串具体是什么。为了避免重复需要改改状态： \(f_{i,0/1,0/1}\) 表示当前从后往前依次选择，选出的是某一个串，当前最左边两位是 0/1，0/1；贪心地尽量只用了 \([i,\cdots, n]\)（\(i\) 刚好用掉放在最左边）。
这样可行是因为总是能贪心地尽量只从右边选，继续选的时候实在不行也能再删去一些，不亏。
转移就是可以直接保留前一位，选前一位的反面则必须跳到最近的那个而且中间的都可以删光。
比如说当前最左边是 11，前面是 0，那就不能不要这个 0 而去选前面的 1，这是因为 011 删不掉 0。
起点可以假设有一个 \(s_{n+1} = s_n\)，然后这两个都必选，依此开头。可行性不再赘述。
建出转移跑一个 DAG 计数，统计路径数，最后跑到的点只要 \(1 \le i < n\) 都可行（至少保留两个点）。
有待验证（咕咕咕）
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