Codeforces Global Round 28

Codeforces Global Round 28 解题报告

A

操作的不变量是是否为 33 的倍数。简单小奥题。

B

一个数字最多管 \(k\) 个区间，依次填上 \(1,2,\cdots\) 是最优解。都管上后剩下的随便填。

C

显然（从样例看出）有一个区间必须是整个区间，这样才可能最大（证：位数优先）。如果另一个枚举 \(O(n^2)\) 种情况可以做到 \(O(\dfrac{n^3}{w})\)。

如果全是 \(1\)，答案就是最后一位变 \(0\)，简单。

否则找到第一个 \(0\)，考虑一定可以保护左边的所有 \(1\)，并转换这个 \(0\)。假设它在第 \(x\) 位（从小到大数），这一定要新选出的 \([l_2, r_2]\) 长度刚好为 \(x\) 才行。这样候选区间降为 \(O(n)\) 个，时间复杂度 \(O(\dfrac{n^2}{w})\)。实际上不压位应该也没啥问题。

D

对每个题目求出

\[c_i = \left\{ \begin{array}{rcl} 0, & & b_i \le a_1 \\ \sum_j [a_j > b_i], & & b_i > a_1 \\ \end{array} \right. \]

则不难发现一场比赛 kevin 的排名是 \(1 + \max c_i\)。

于是肯定是选择最小的那些 \(c_i\)，且尽量大的和大的排一场比赛，小的和小的一起。对 \(c\) sort 之后答案是 \(ans_k = \sum_{k \mid i} c_i\)。直接统计即可，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

E

小清新简单题。启发我们两个角度看问题。

发现 \(n\) 固定了之后 \(m\) 越大越难合法。问题是到底那个边界是什么呢？直接探究就有很多猜想了，比较麻烦。

考虑最多有几条边不会有环，就是每条边刚好一棵树，即 \(n(2n + m - 1)\) 条。于是有：

\[n(2n + m - 1) \ge 2nm \]

解得 \(m \le 2n - 1\)。

于是我们只需考虑构造出 \(m = 2n - 1\) 的情况。发现就是一条折线一样来回跳就行，每种颜色左起点后跳两格就不会重复。

左右点都从 \(0\) 开始编号，\((i,j)\) 的颜色就是 \((\lfloor \dfrac {i-j}2 \rfloor) \bmod n + 1\)。

F

套路题：先分析矛盾点，选的区间越长干掉的 \(a_i\) 就越多，但是干掉的量也越少。要去抓这样一个平衡。

考虑提前确定除掉的 \(\min = x\)，那就一定是尽量去一个以 \(x\) 为最小值的极大区间，这提示笛卡尔树。手玩之后又发现两个性质：

1. \(\lceil \dfrac{\lceil\frac ab\rceil}{c}\rceil = \lceil\dfrac {a}{bc}\rceil\)
2. \(2^{60} > 10^{18}\)

这意味着问题相当于每一位分别去累乘选择的 \(b\) 让累乘值 \(\ge a\)，且 \(ans \le 60\)。

答案呼之欲出。在笛卡尔树上 DP :

令 \(f_{u,j}\) 表示 \(u\) 代表的区间上共进行了 \(j\) 次操作，区间最大数最小能变成多少。转移：

\[f'_{u,i} \leftarrow \min_{j \le i} \max \{ f_{u,j},f_{v,i-j}\}\\ f_{u,i} \leftarrow f_{u,i-1}/\min_{i \in [L_u,R_u]} a_i \]

时间复杂度 \(O(n\log^2 A)\)。

有没有更加简单快速的优化？有的兄弟，有的，单调减数列的 min-max 卷积等价于它们的有序归并。瞬间降到 \(O(n\log A)\)。

G

一句话：问你 \(n\times m\) 的值域 \([1,v]\) 中整数的行最大值的最小值不大于列最小值的最大值的矩阵有几个。

关键是基础要夯实，才能做出来。正难则反，考虑算左边 \(> a\)，右边 \(\le b\) 的方案数 \(f(a, b)\)。

答案就是：

\[ans = v^{nm} - \sum_{a=0}^{v-1} (f(a,a) - f(a+1,a)) \]

考虑容斥左边有几行不满足 \(> a\)，容斥完每列独立：

\[f(a, b) = \sum_{i = 0} ^ n (-1)^{i} \dbinom ni (v^{n-i}a^i - (v-b)^{n-i}(a-b)^i)^m \]

好像就做完了。qwq

H

不会了，看题解。

反思一下就是一是看到这种 max 的要想到向前传递，进而形成区间；二是考考察合法最终状态的特征。

qwq