图的基础概念

图的定义

图形结构是继树形结构之后更为复杂的一种结构。它是一个多对多的关系。

如下图，就是一张图。

图的组成

图是由点和边组成的,点正是一个载体,而边就是它们之间多对多的关系。因此用点和边便可完整的刻画一张图，所以将图记作 \(Graph=(V,E)\)

\(V\) 即是图中点所构成的集合(它一定是非空的)，图中点的个数称之为图的阶数，记为 \(v(G)= \vert V(G) \vert\)

\(E\) 即是图中边所成集合(它无要求，没有边的图也是图),图的边数记为 \(\epsilon (G)= \vert E(G) \vert\)

图的分类

不同的图有不同的特点，正如生活中亦有形形色色的人，由此有了图不同的分类。

边的指向性

在图中最常见的分支莫过于边的方向了，也因此可以分出两种不同的图——无向图与有向图，下边便对这些进行解释。

无向图

顾名思义，无向图就是没有方向的图，两点之间的关系是互通的。正如 \(gcd(4,2)=gcd(2,4)\) 一样，\(2\) 点的关系是满足一种交换律的关系的。

给上面的图加上编号以区分，如下。

这张图可以记为

\(G=\){\(V,E\)}

\(V=\){\(0,1,2,3,4,5,6\)}

\(E=\){\((0,1),(0,2),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4),(4,5),(5,6)\)}

不难发现 假如点 \(u\) 与点 \(v\) 相连，那么点 \(v\) 也与点 \(u\) 是相连的这就是无向图的特点。

下面给出无向图的定义，\(E(G) \in V(G)*V(G)\) 组成的无序对集合，则称 \(G\) 为无向图

有向图

这里可以类比无向图，不难可以知道有向图即是边具有方向性的图

比如下面这一张图

我们可以发现，若点 \(u\) 与点 \(v\) 相连，点 \(v\) 也不一定与点 \(u\) 相连（比如 \(0\) 与 \(1\)）

下面给出有向图的定义，\(E(D) \in V(D)*V(D)\) 组成的有序对集合，则称 \(D\) 为有向图

由图的指向性，又可引出几个概念，现在对于图，我们可以理解成点与边的关系，下列是几个描述点与边关系的术语

不难发现每一个有向图 \(D\) 都对应这一个无向图 \(G\)

由点 \(v_i\) 引出的边(不一定是出的边，也可以是入的边，只要相连即可) \(v_i v_{j_m} \ , m \in V(G)\) 称为点 \(v_i\) 关联边,同时点 \(v_i\) 也边的关联点

关联边的数量总和称之为度，记作 \(d\)

在有向图中，边有了方向，度也就被分成了出度与入度，打个比方 \(v_i\) 的出度（记为 \(d^-_D(v_i)\)）就是从 \(v_i\) 出发的边的数量而入度(记为 \(d^+_D(v_i)\))就是以 \(v_i\) 为结束的边的数量。

其中有向图中 \(\underset{v_i \in V(D)}{\sum} d_D^+(v_i) = \underset{v_i \in V(D)}{\sum} d_D^-(v_i)\)

有了出入度，它们就会有数值上的差异，就会产生最大和最小值

这里分别记最大入读为 \(\Delta^+(D)=max\){\(d_D^+(v),v \in V(D)\)}，最小入度为 \(\delta^+(D)=min\){\(d_D^+(v),v \in V(D)\)}

反之出度就是将 \(+\) 改为 \(-\)

边的特性

一个图的性质不一定相同，因此还可以分出几类图

简单图

即没有重复边,自边的图

重复边就是起点与终点一样的边

自边即自己指向自己的边

多重图

依照简单图来类比

多重图就是有重复边或者自边的图

边的数量

不同的图边的数量也是不同的，由此引出几个分类

稀疏图

\(\epsilon (G)\) 较小，即边数少的就是稀疏图

稠密图

类比稀疏图，稠密图就是边数多的图

完全图

完全图是一种特殊的稠密图

在完全图中的点两两连线

举个例子

在无向完全图中 \(\epsilon (G) = \cfrac{v(G) \times v(G)}{2}\)

在有向完全图中 \(\epsilon (G) = v(G) \times v(G)\)

如图就是一个无向完全图

子图

这里设有一个图 \(G =\){\(V,E\)} 还有一个图 \(G'=\){\(v',E'\)} 其中 \(V' \in V\) 且 \(E' \in E\) 那么 \(G'\) 则称之为 \(G\) 的子图

若 \(v(G') = v(G)\) 则称 \(G'\) 为 \(G\) 的生成子图

换而言之就是子图是原图的一部分

下面举个例子

这是图 \(G\)

这是图 \(G'\)

显而易见 \(G'\) 便是 \(G\) 的一部分，即 \(G'\) 是 \(G\) 的子图

图的连通性

这里设图 \(G\) 中有 \(2\) 个点 \(u\) 和 \(v\) 而且 \(u\) 和 \(v\) 可以通过边相互到达，则称 \(u\ v\) 是联通的，在有向图中则被称之为强联通

连通图

在无向图 \(G\) 中 \(\exists u \ v \in V(G)\),\(u \ v\) 联通，则称图 \(G\) 为联通图

非连通图

不是联通图的无向图就是非连通图

强联通图

在有向图中两两联通的就是强连通图

这里给个例子

这就是一个比较简单的例子

\(3\) 点之间可以直接到达，也可间接经过一个点（多个点也可以）到达

非强联通图

类比非联通图

非强联通图就是在有向图中非强联通的情况

图之中联通的部分叫做联通分量货强联通分量

如图

虽然图不是强联通图

但图中有许多强联通的部分（即强联通分量）

举几个较大的为例

如 \(V=\){\(0,1,2,3\)} \(V=\){\(4,5\)} \(V=\){\(1,2,3\)}

都是强联通分量

生成树

连通图的联通子图叫做生成树

这一张图就是整一张图就是一个生成树

图的权值

在一些图之中，边是带有一定的权重的这就是常说的边权

在一般的问题之中边权一般是路径的长度或者是通过路径所需支付的费用

同时这种有权的图也可以叫做网

这里引入一张图用于后文的解释

路径

在图 \(G\) 中有 \(u,v\) 两点

从 \(u\) 到 \(v\) 的边与点的集合称之为路径

其中顶点不重复的叫做简单路径

这里 \(0->2->4\) 就是一条简单路径

当然路径不止一条

\(0->1->4\) 也是 \(0\) 到 \(4\) 的一条简单路径

回路

起点终点一致的叫做回路或者环

因为这里没有回路，所以就加一条 \(4->0\) 边权为 \(1\) 的边

那么 \(0->1->4->0\) 就是一个回路

距离

一个路径的边的权之和被叫做两点的距离

这里 \(0->1->4\) 的距离就是 \(\underset{i \in E(G)}{\sum} d_i,d\) 为路径权,\(E(G)=\){\((0,1),(1,4),(4,0)\)} 即 \(2+6=8\)

结语

以上就是整个 \(blog\) 的全部了，不得不说打 \(KaTeX\) 也是超累的，希望这对每一个看到这篇博客的人有所帮助，还有看到可以补充的也会补充的，拜拜~~