「国家集训队」单选错位 题解

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题目大意

试卷上共有 $ n $ 道单选题，第 $ i $ 道题有 $ a_i $ 个选项，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

$ A $ 全部做对，但抄错位了：每题都向后抄了一个位置，特别地，第 $ n $ 道题目抄到了第 $ 1 $ 道题目的位置。

$ A $ 想知道自己期望能做对几道题目。

思路

数据范围 $ n \le 10^7 $ ，说明需要 $ O(n) $ 的算法解决。

通过样例仔细观察后，我们可以发现，第 $ i $ 题是否正确，只与第 $ i-1 $ 题的答案是否跟第 $ i $ 题相同有关。

举个例子：

$ a={2,3,1} $

对于第 $ 1 $ 题和第 $ 2 $ 题，正确答案的总情况数为 $ a[1] \times a[2] = 6 $ ，而两道题答案相同的只有 $ min(a[1],a[2]) = 2 $ 种。最终做对的概率为 $ \frac{min(a[1],a[2])}{a[1] \times a[2]} = \frac{1}{3} $ 。

为什么要求最小值？

因为当第二题答案为 3 时，第一题答案不可能与它相同。所以相同情况数取决于它们的最小值。

由上可得：两道题的正确答案情况总数为 $ a[i] \times a[i-1] $ ，两道题答案相等的情况有 $ min(a[i],a[i-1]) $ 种，所以答案需要加上一个 $ \frac{min(a[i],a[i-1])}{a[i] \times a[i-1]} $ 。

化简一下：

$ \ \ \ \ \ \frac{min(a[i],a[i-1])}{a[i] \times a[i-1]} $

$ = \frac{1}{max(a[i],a[i-1])} $

注意，这里的 $ min $ 变成了 $ max $ 。

当 $ min(a[i],a[i-1]) = a[i] $ 时，原式变为 $ \frac{1}{a[i-1]} $ ；

当 $ min(a[i],a[i-1]) = a[i-1] $ 时，原式变为 $ \frac{1}{a[i]} $ 。

综合一下，就是 $ \frac{1}{max(a[i],a[i-1])} $ 。

对于特殊情况只需要再加上 $ \frac{1}{max(a[n],a[1])} $ 即可。

最终公式为：

$ ans = \frac{1}{max(a[n],a[1])} + \underset{i = 2}{\overset{n}{\sum}} \frac{1}{max(a[i],a[i-1])} $

因此，代码出。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll int
const ll N=10000010;//1e7+10 
using namespace std;

ll n,A,B,C,a[N];
double ans;//答案 

int main(){
	
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		a[i]=((long long)a[i-1]*A+B)%100000001;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=a[i]%C+1;
	
	for(ll i=2;i<=n;i++){//是2~n 
		ans+=1.0/max(a[i],a[i-1]);//公式 
	}
	ans+=1.0/max(a[n],a[1]);//特殊处理 
	printf("%.3lf",ans);//输出 
	
	return 0;
}

尾声

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