2021秋 数分B1笔记

实数

〇、杂项

最小数原理：集合 \(\mathbb{T} \sub \mathbb{N},\mathbb{T} \neq \varnothing\) ，那么 \(\mathbb{T}\) 中有最小数。

证明：

构造集合 \(\mathbb{S} = \{s\mid\forall t \in \mathbb{T}, s \leq t\}\)

显然 $ 1 \in \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \varnothing$

又有 \(\forall t \in \mathbb{T}, t + 1 \notin \mathbb{S} \Rightarrow \mathbb{S} \neq \mathbb{N}\)

所以一定 \(\exist s_0 \in \mathbb{S}， \ s_0 + 1 \notin \mathbb{S}\) （反证法，根据归纳公理显然）

下证 \(s_0 \in \mathbb{T}\) ，考虑反证

若 \(s_0 \notin \mathbb{T}\)，又 \(s_0 \in \mathbb{S}\)，所以有 \(\forall t \in \mathbb{T}, s_0 < t\)，则有 \(\forall t \in \mathbb{T}，s_0 + 1 \leq t \Rightarrow s_0 + 1 \in \mathbb{S}\) ，矛盾

故 \(s_0 \in \mathbb{T}\) 且 \(\forall t \in \mathbb{T}, s_0 \leq t\)，\(s_0\) 则为 \(\mathbb{T}\) 中的最小数，最小数原理得证

一、域的定义

设 \(\mathbb{F}\) 是集合，具有

• 加法 \(\forall x, y \in \mathbb{F}, x + y \in \mathbb{F}\)
• 乘法 \(\forall x, y \in \mathbb{F}, x \cdot y \in \mathbb{F}\)
• \(0\) 元 \(\forall x \in \mathbb{F},\exist 0 \in \mathbb{F}, 0 + x \in x\)
• 单位元 \(\exists 1 \in \mathbb{F}, 1 \cdot x = x \cdot 1 = x\)
• 负元 \(\forall x \in \mathbb{F}, \exist -x \in \mathbb{F}, x + (-x) = 0\)
• 满足交换律，结合律，交换律

则称 \(\mathbb{F}\) 为一个域

二、有序域

设 \(\mathbb{F}\) 是一个域，若满足 \(\forall x, y \in \mathbb{F}, x < y, x > y, x = y\) 有且仅有一种成立，则 \(\mathbb{F}\) 有序，称为有序域

复数域 \(\mathbb{C}\) 不是有序域，复数的乘法运算与有序的定义不兼容

三、有界的定义

设 \(\mathbb{E} \sub \mathbb{F}\) ，若 \(\exists \beta \in \mathbb{F},\forall \alpha \in \mathbb{E}\) ，有 \(\alpha \leqslant(\geqslant) \beta\)，则称 \(\beta\) 是 \(\mathbb{E}\) 的上（下）界

四、确界的定义

若 \(\mathbb{E} \sub \mathbb{F}\) 有上界，若在 \(\mathbb{F}\) 中 \(\mathbb{E}\) 有最小（大）的上（下）界，则称为上（下）确界，记为 \(\sup \mathbb{E} \in \mathbb{F}\) 或者 \(\inf \mathbb{E} \in \mathbb{F}\)

五、确界原理

若 \(\mathbb{F}\) 中任意有上（下）界子集 \(\mathbb{E}\) 在 \(\mathbb{F}\) 中一定有上（下）确界，则称 \(\mathbb{F}\) 满足上（下）确界原理

定理：若 \(\mathbb{F}\) 满足上确界原理，则 \(\mathbb{F}\) 满足下确界原理

证明：

设 \(\mathbb{F}\) 满足上确界原理，要证 \(\forall \mathbb{E} \sub \mathbb{F}\)，\(\mathbb{E}\) 有下界则一定有下确界

构造 \(\mathbb{E}^\prime = \{\beta\mid\beta\)是 \(\mathbb{E}\) 的下界\(\} \sub \mathbb{F}\)

定理：存在满足确界原理的有序域

且以 \(\mathbb{Q}\) 为其子集的有序域记为 \(\mathbb{R}\) ，称为实数域

构造性证明 \(\text{Dedekind}\) 分割（摘自知乎，侵删）：

假设我们只知道有理数。我们把所有有理数按如下要求装入集合 \(A\) 和 \(A'\)：

• 任一有理数必属于 \(A, A'\) 之一；
• \(A'\) 中的每一个有理数都大于 \(A\) 中的有理数。

这样操作的对有理数全集的分划 \(A|A'\) 就称为 \(\text{Detekind}\) 分割。

显然在此划分下就会出现三种情况：

• \(A\) 中有最大数，\(A'\) 中无最小数；
• \(A\) 中无最大数，\(A'\) 中有最小数；
• \(A\) 中无最大数，\(A'\) 中也无最小数。

前两种情况属于存在“界数”的情况，为了明确起见，我们约定，若某个分割存在“界数”，就总把这个“界数”放在 \(A'\) 中，于是可以将这两种情况归并为一种；至于第三种情况，则属于不存在“界数”的情况。

如此，每一个 \(\text{Detekind}\) 分割都唯一地定义了一个实数：有界数的，就是定义了这个作为界数的有理数；无界数的，则定义了某个不属于有理数的新数，我们称之为无理数。

容易推知，实数就和 \(\text{Detekind}\) 分割形成双射关系，每一个实数对应一个分划，不同的实数对应不同的分划。

六、实数的特点 \(\begin{cases}①与数轴上的点一一对应\\②不可数\end{cases}\)

① \(\text{Archimedes}\) 原理：

​ \(\forall x, y \in \mathbb{R}\)，若\(x > 0,y > 0\)，则 \(\exist n \in \mathbb{N}\)，使得 \(nx > y \geqslant (n - 1)x\)

② \(\mathbb{Q}\) 在 \(\mathbb{R}\) 中稠密：

​ \(\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y\)，一定 \(\exists z \in \mathbb{Q},\) 使得 \(x < z< y\)

\(\text{Archimedes}\) 原理证明：

设 \(\mathbb{E} = \{nx\mid n \in \mathbb{N}\} \sub \mathbb{R}\)

（反证）假如对 $\forall n,nx \leqslant y \Rightarrow y $ 是 \(\mathbb{E}\) 上界 \(\Rightarrow \mathbb{E}\) 有上确界

记 \(\alpha = \sup \mathbb{E} \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha - x < \alpha \Rightarrow \alpha - x\) 不是 \(\mathbb{E}\) 的上界

\(\exists mx \in \mathbb{E}\)，使得 \(\alpha - x < mx \Rightarrow \alpha < (m + 1)x \in \mathbb{E}\) 矛盾

所以 \(\exists n_0\) 使得 \(n_0x > y\)

\(\mathbb{S} = \{n \mid nx > y\} \neq \varnothing\)

\(\exists\) 最小的 \(n\)，\(nx > y \geqslant (n - 1)x\)

通过 \(\text{Archimedes}\) 原理证明两实数间存在另一有理数：

\(\forall x, y \in \mathbb{R}, x < y \Rightarrow y - x > 0\)

根据 \(\text{Archimedes}\) 原理，\(\exists n\)，使得 \(n(y - x) > 1 \Rightarrow ny > 1 + nx\)

再对 \(1\) 和 \(nx\) 应用 \(\text{Archimedes}\) 原理

\(\exists m\) 使得 \(m \cdot 1 > nx \geqslant (m - 1) \cdot 1 \Rightarrow mx < m \leqslant nx + 1 < ny\)

\(\Rightarrow x < \frac{m}{n} < y\)，\(\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}\)

七、无限小数

\(\forall x > 1, x \in \mathbb{R}\)

根据 \(\text{Archimedes}\) 原理，\(\exists a_0 \in \mathbb{N},a_0 \leqslant x < a_0 + 1\)

同上，\(\exists a_1 \in \mathbb{N}, a_1 \leqslant 10(x - a_0) < a_1 + 1(0 \leqslant a_1 \leqslant 9)\)

\(\Rightarrow a_0 + \frac{a_1}{10} \leqslant x < a_0 + \frac{a_1}{10} + 1\)

以此类推：\(a_0 + \frac{a_1}{10} + \cdots + \frac{a_n}{10^n} \leqslant x < a_0 + \frac{a_1}{10} + \cdots + \frac{a_n}{10^n} + 1\)

---

数列

一、数列极限

数列 \(a_1, a_2, a_3, \cdots\) 可看成 \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) 的一个映射。

二、数列极限的定义

设 \(\{ a_n \}\) 是实数数列，\(a \in \mathbb{R}\)

对于 \(\forall \varepsilon > 0\)，若 \(\exists N\)，使得 \(\forall n > N\)，\(|a_n - a| < \varepsilon\)，则称 \(a\) 是 \(\{a_n\}\) 的极限，记作 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a\) 或 \(a_n \to a(n \to \infty)\)

若 \(\exists \varepsilon_0 > 0\)，对 \(\forall N\)，\(\exists n > N\)，但是 \(|a_n - a| \geqslant \varepsilon_0\)，那 \(a\) 就不是 \(\{a_n\}\) 的极限

三、性质 \(\begin{cases}① 唯一性，改变有限项不影响敛散性 \\②收敛必有界\ 保序性\\③四则运算（下文略）\\④夹逼定理（下文略）\end{cases}\)

1. 设 \(\{a_n\}\) 收敛，则 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n\) 唯一。

   证明：

   考虑反证，若有两个极限，分别记为 \(a, b(a < b)\)，取 \(\varepsilon_0 = \frac{|a - b|}{2}\)

   根据极限的定义，\(\exists N_1,n > N_1\) 时有 \(|a_n - a| < \varepsilon_0\)，\(\exists N_2,n > N_2\) 时有 \(|a_n - b| < \varepsilon_0\)

   取 \(N = \max\{N_1, N_2\}\)，当 \(n > N\) 时

   \(\begin{aligned}|a - b| & = |a - a_n + a_n - b| \\ & \leqslant |a - a_n| + |a_n - b| \\& < 2\varepsilon\end{aligned}\)

   矛盾

2. 改变 \(\{a_n\}\) 的有限项，不改变 \(\{a_n\}\) 的敛散性

   不妨设 \(a_n \to a (n \to \infty)\) ，改变有限项的值后，依然 \(\exists n_r\)，使得 \(a_n(n \geqslant n_r)\) 不变。

   \(\forall \varepsilon > 0，\exists N > n_r, \forall n > N,|a_n - a| < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a\)，敛散性不变。发散数列同理。

3. \(\{a_n\}\) 有界，\(\exists M\)，使得 \(|a_n| \leqslant M\) 对 \(\forall n\) 成立

4. 若 \(a > l\)，则对充分大 \(n\) 有 \(a_n > l\)

   取 \(\varepsilon = a - l > 0\)

   则 \(\exists N,\forall n > N,|a_n - a| < \varepsilon\)

   \(a + \varepsilon > a_n > a - \varepsilon = a - (a - l) = l\)

   得到 \(a_n > l\)

5. 若对充分大 \(n\) 有 \(a_n \geqslant l\)，则 \(a \geqslant l\)

四、子列

定理：\(\{a_n\}\) 收敛 \(\Rightarrow {a_n}\) 的任一子列收敛于同一值（证明略）

推论：若 \(\{a_n\}\) 的某一个子列发散，则 \(\{a_n\}\) 也发散；若存在两个子列收敛于不同值，则 \(\{a_n\}\) 发散

五、实数完备性的若干等价命题

1. 确界原理：\(\mathbb{R}\) 中任何有上（下）界的子集 \(\mathbb E\) 必有上（下）确界

   定义：若 \(\{a_n\}\) 满足 \(\forall n,a_n \leqslant(\geqslant) a_{n + 1}\)，则称 \(\{a_n\}\) 单调递增（减）。不取等的情况称为严格单调递增（减）

   定理：单调递增（减）有上（下）界的数列必收敛

   设 \(\{a_n\} \uparrow\) 有上界，根据确界原理，\(\{a_n\} \sub \mathbb R\) 必有上确界 \(a = \sup\{a_n\}\)

   \(\Rightarrow \forall \varepsilon > 0,a - \varepsilon\) 不再是上界 \(\Rightarrow \exists a_{n_0} \in \{a_n\}\) 使得 \(a - \varepsilon < a_{n_0}\)

   所以 \(\forall n > n_0,a - \varepsilon < a_{n_0} \leqslant a_n < a < a + \varepsilon\)，根据数列极限定义，\(\{a_n\}\) 收敛

   定理：设 \(e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)，则 \(\{e_n\}\) 收敛

   先证 \(\{e_n\}\) 单调递增：

   \(\begin{aligned}e_{n} &= \left(1 + \frac 1 n\right)^n \\&= 1 + \frac n {1!} \cdot \frac 1 n + \frac {n(n - 1)} {2!} \cdot \frac 1 {n^2} + \frac {n(n - 1)(n - 2)} {3!} \cdot \frac 1 {n^3} + \cdots + \frac {n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1} {n!} \cdot \frac 1 {n^n} \\&= 1 + 1 + {1 \over 2!}\left(1 - \frac 1 n\right)+{1 \over 3!}\left(1 - \frac 1 n\right)\left(1 - \frac 2 n\right) + \cdots + {1 \over n!}\left(1 - \frac 1 n\right)\left(1 - \frac 2 n\right) \cdots \left(1 - \frac {n - 1} n\right)\end{aligned}\)

   类似地：

   \(e_{n + 1} = 1 + 1 + {1 \over 2!}\left(1 - \frac 1 {n + 1}\right)+{1 \over 3!}\left(1 - \frac 1 {n + 1}\right)\left(1 - \frac 2 {n + 1}\right) + \cdots + {1 \over (n + 1)!}\left(1 - \frac 1 {n + 1}\right)\left(1 - \frac 2 {n + 1}\right) \cdots \left(1 - \frac n {n + 1}\right)\)

   作差不难发现 \(e_{n + 1} > e_n\)

   又根据

   \(\begin{aligned}e_n & < 1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + \cdots + {1 \over n!} \\&< 1 + 1 + {1 \over 2} + {1 \over 2^2} + \cdots + {1 \over 2^{n-1}} \\&= 1 + {1 - {1 \over 2^n} \over 1 - {1 \over 2}} = 3 - {1 \over 2^{n - 1}} <3\end{aligned}\)

   所以 \(e_n\) 有上界，单调递增有上界必收敛，记为 \(\lim\limits_{n \to \infty}e_n = e\)

2. 列紧性

   区间套定理：设有一列区间 \([a_n, b_n], n = 1, 2, \cdots\) 满足

   • \([a_{n+1}, b_{n + 1}] \sub [a_n, b_n],n = 1, 2, \cdots\)
   • \(\lim\limits_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0\)

   则有且仅有一点 \(\xi \in [a_n, b_n],n = 1, 2, \cdots\)

   证明：

   \(\{a_n\}\) 递增有上界 \(b_1\)，\(\{b_n\}\) 递减有下界 \(a_1\) \(\Rightarrow\) \(\{a_n\},\{b_n\}\) 均收敛

   记 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a,\lim\limits_{n \to \infty} b_n = b\)

   根据数列极限的保序性：\(a_n < b_n \Rightarrow a \leqslant b\)

   又 \(0 \leqslant b - a \leqslant \lim\limits_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0 \Rightarrow b = a = \xi\)

   容易验证 \(\xi \in [a_n, b_n], \forall n \in \N\)

   推广可得 \(\bigcap\limits_{n = 1}^\infty[a_n, b_n] \neq \varnothing\)，特别地若 \(\lim\limits_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0\)，\(\bigcap\limits_{n = 1}^\infty[a_n, b_n] = \{\xi\}\)

   \(\text{Bolzano-Weierstrass}\) 定理：任何有界数列必有收敛子列

   设 \(\{x_n\}\) 是有界数列， 设 \(\{x_n\} \sub [a, b]\)，则区间 \([a, \frac{a + b}{2}],[\frac{a + b}{2}, b]\) 中至少有一个包含 \(\{a_n\}\) 中的无限项

   记为 \([a_1, b_1]\)，对 \([a_1, b_1]\) 重复上述过程得到 \([a_2, b_2]\)，以此类推将得到 \(k\) 个区间，满足

   \([a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k]\)

   且 \(b_k - a_k = {1 \over 2^k}(b - a) \to 0,k \to \infty\)

   根据区间套定理 \(\lim\limits_{k \to \infty} a_k = \lim\limits_{k \to \infty} b_k = x\)

   再根据夹逼定理，\([a_k, b_k]\) 内所有 \(x_i\) 组成的子列收敛于 \(x\)

3. \(\text{Cauchy}\) 收敛准则

   定义：\(\{a_n\}\) 满足 \(\forall \varepsilon > 0,\exists N\)，当 \(n, m > N\) 时有 \(|a_n-a_m | < \varepsilon\) ，或者写成 \(| a_{n+p} - a_n | < \varepsilon\) 对 \(\forall p\) 成立

   ​ 则称 \(\{a_n\}\) 为基本列

   定理：\(\{a_n\}\) 收敛 \(\iff\) \(\{a_n\}\) 是基本列

六、发散到无穷大

定义：

记 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty,\forall M > 0,\exists N\)，当 \(n > N\) 时

• 有 \(a_n > M\)，则称 \(a_n\) 发散到 \(+\infty\)
• 有 \(a_n < -M\)，则称 \(a_n\) 发散到 \(-\infty\)
• 有 \(|a_n| > M\)，则称 \(a_n\) 发散到 \(\infty\)

定理：单调递增数列发散到 \(+\infty \iff\) 数列无界 \(\forall M > 0,\exists a_N\)，使得 \(a_N > M\)

七、\(\text{Stolz}\) 定理

定理（“\(\frac \infty \infty\)”型或“\(\frac x \infty\)” 型）：设 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 满足

1. \(b_n\) 严格 \(\uparrow\) 且 \(\lim\limits_{n \to \infty}b_n = +\infty\) （不要求 \(a_n \to +\infty\)）
2. \(\lim\limits_{n \to \infty} {a_{n + 1} - a_n \over b_{n + 1} - b_n} = A\) （可以是无穷）

则有 \(\lim\limits_{n \to \infty}{a_n \over b_n} = A\)

定理（“\(\frac 0 0\)” 型）

1. \(a_n \to 0, b_n \to 0\)，且 \(\{b_n\}\) 严格 \(\downarrow\)
2. \(\lim\limits_{n \to \infty} {a_{n + 1} - a_n \over b_{n + 1} - b_n} = A\)

则有 \(\lim\limits_{n \to \infty}{a_n \over b_n} = A\)

函数极限

一、函数

映射：\(f:X \to Y\) 单射

函数：\(f:I(\subset \R) \to J(\subset \R)\)

1. 三种情况：

   1. 有界：\(\forall x \in I,|f(x)| \leqslant M\) 或者 \(m \leqslant f(x) \leqslant M\)
   2. 单调：\(\forall x_1, x_2 \in I(x_1 < x_2) \Rightarrow f(x_1) \leqslant f(x_2)\) 则单调递增，不取等则严格；递减同理
   3. 一一对应：\(\forall x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)
   4. 反函数：\(\forall y \in J,\exists\) 唯一 \(x \in I\)，使得 \(y = f(x)\)，则 \(x = f^{-1}(y)\)

2. 函数的复合：\(y = g(f(x))\)

3. 初等函数

   1. 幂函数：\(f(x) = x^\alpha(x > 0,\alpha \in \R)\)

   2. 指数函数：\(f(x) = a^x(a > 0,a \neq 1)\)

   3. 对数函数：\(f(x) = \log_ax(x > 0, a > 0, a \neq 1), f(x) = \ln x\)

   4. （反）三角函数

   5. 双曲函数

      \(\sinh x = {e^x - e^{-x} \over 2},\cosh x = {e^x + e^{-x} \over 2},\cosh^2x - \sinh^2x = 1,\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}, \sin x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2i}\)

   初等函数通过有限次四则运算和复合运算，仍然为复合函数

4. 函数的其他表达方式

   1. 分段函数
   2. 隐函数
   3. 参数方程

二、在无穷处的极限

\(\forall \varepsilon > 0,\exists X > 0\)，当 \(|x| > X\) 时，有 \(|f(x) - a| < \varepsilon\)，则称 \(a\) 是 \(f(x)\) 在无穷处的极限，记为 \(\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = a\)

单侧极限 \(\begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = a \\ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = a\end{cases}\) . 结论：\(\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = a \iff \begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) 存在 \\ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) 存在\end{cases} 且相等\)

三、在有限点的极限

\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = a \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < \delta(x \in \mathring{U}(x_0, \delta))\) 时，有 \(|f(x) - a| <\varepsilon\)

结论：\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处有极限 \(\iff\) \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的左右极限存在且相等

四、性质与判别法

一、极限若存在则唯一

二、局部有界

1. \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近有界（\(\exists \delta > 0, x \in \mathring{U}(x_0, \delta)\)

2. 若 \(\alpha < a < \beta\)，则在 \(x_0\) 附近有 \(\alpha \leqslant f(x) \leqslant \beta\)

   对 \(\varepsilon = \min\{\beta - a, a - \alpha\} > 0, \exists \delta > 0\) 当 \(x \in \mathring{U}(x_0, \delta)\) 时，\(\alpha \leqslant a - \varepsilon < f(x) < a + \varepsilon \leqslant \beta\)

三、四则运算

设 \(f(x) \to a, g(x) \to b(x \to x_0)\)，则

1. \(\lim\limits_{x \to x_0}(\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha a + \beta b\)
2. \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)g(x) = ab\)
3. \(\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \frac a b(b \neq 0)\)

四、保序性

在 \(x_0\) 附近有 \(f(x) \leqslant g(x) \Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0} f(x) \leqslant \lim\limits_{x \to x_0}g(x)\)

五、复合函数

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近，\(g(t)\) 在 \(t_0\) 附近均有定义，当 \(t \neq t_0,g(t) \neq x_0\) 时

​ 若 \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = l, \lim\limits_{t \to t_0} g(t) = x_0\)，则 \(\lim\limits_{t \to t_0}f(g(t)) = l\)

证明：

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \tau > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < \tau\) 时，有 \(|f(x) - l| < \varepsilon\)

对 \(\tau > 0,\exists \delta > 0\)，当 \(0 < |t - t_0| < \delta\) 时，有 \(0 < |g(t) - x_0| < \tau \Rightarrow |f(g(t)) - l| < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{t \to t_0}f(g(t)) = l\)

证毕

六、函数与数列复合

\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = a \iff\) 对任意收敛于 \(x_0\) 的数列 \(\{a_n\}(a_n \neq x_0)\)，有 \(\lim\limits_{n \to \infty}f(a_n) = a\)

证明：

\((\Rightarrow)\)

对于 \(\forall \{a_n\}, a_n \to x_0(x \to \infty)\) ，要证 \(\{f(a_n)\}\) 收敛于 \(a\)，

即证 \(\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0\) 使得 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - a| < \varepsilon\)

对 \(\delta > 0,\exists N\)，当 \(n > N\) 时有 \(0 < |a_n - x_0| < \delta \Rightarrow\) 当 \(n > N\) 时，\(|f(a_n) - a| < \varepsilon\)

\((\Leftarrow)\)

假如当 \(x \to x_0\) 时 \(f(x)\) 不以 \(a\) 为极限

\(\Rightarrow \exists \varepsilon_0 > 0\)，使得对 \(\forall \delta > 0\)，即使 \(0 < |x - x_0| < \delta\)，但是 \(|f(x) - a| \geqslant \varepsilon_0\)

取 \(\delta = \frac 1 n\)，取 \(a_n = x_0 + \frac 1 {2n} \to x_0\)

当 \(0 < |a_n - x_0| < \frac 1 n = \delta\) 时，但是 \(|f(a_n) - a| \geqslant \varepsilon_0\)，矛盾

七、夹逼定理

在 \(x_0\) 附近有 \(g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)\)，且 \(\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = \lim\limits_{x \to x_0}h(x) = a \Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = a\)

八、单调性与极限存在的关系

若 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 上单调，则对 \(\forall x_0 \in (a, b), \lim\limits_{x \to x_0^{\pm}}f(x)\) 存在

证明：

设 \(f(x) \uparrow\)，\(\mathbb E = \{f(x) \mid x < x_0\}\) 有上界

\(\exists\) 上确界 \(l\)，\(\forall \varepsilon > 0 \Rightarrow l - \varepsilon\) 不是 \(\mathbb E\) 的上界

\(\exists \overline x < x_0\)，但是 \(f(\overline x) > l - \varepsilon\)

取 \(0 < \delta < x_0 - \overline x\)，当 \(0 < x_0 - \overline x < \delta\) 时，有 \(l - \varepsilon < f(\overline x) \leqslant l\)

\(\Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)\) 存在，另一种情况同理，证毕

九、\(\text{Cauchy}\) 收敛准则

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近有定义

则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处有极限 \(\iff\) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(0 < |x^\prime - x_0| < \delta, 0 < |x^{\prime\prime} - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x^\prime) - f(x^{\prime\prime})| < \varepsilon\)

证明：

\((\Rightarrow)\)

设极限为 \(a\)，\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - a| < \frac \varepsilon 2\)

对 \(0 < |x^\prime - x_0| < \delta, 0 < |x^{\prime\prime} - x_0| < \delta\)

有 \(|f(x^\prime) - a| < \frac \varepsilon 2, |f(x^{\prime\prime}) - a| < \frac \varepsilon 2 \Rightarrow |f(x^\prime) - x^{\prime\prime}| < \varepsilon\)

\((\Leftarrow)\)

因为对 \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(0 < |x^\prime - x_0| < \delta, 0 < |x^{\prime\prime} - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x^\prime) - x^{\prime\prime}| < \varepsilon\)

任取 \(a_n \to x_0(a_n \neq x_0) \Rightarrow \exists N\)，当 \(n, m > N\) 时， \(0 < |a_n - x_0| < \delta, 0 < |a_m - x_0| < \delta\)

\(\Rightarrow |f(a_n) - f(a_m)| < \varepsilon \Rightarrow \{f(a_n)\}\) 满足 \(\text{Cauchy}\) 收敛准则，设 \(f(a_n) \to l\)

根据函数与数列复合的极限， \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = l\)，极限存在，证毕

五、两个重要极限

\[\lim\limits_{x \to 0}{\sin x \over x} = 1 \]

证明：
待填坑

\[\lim\limits_{x \to \infty}\left(1 + \frac 1 x\right)^x = e \]

证明：

已知 \(\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac 1 n\right)^n = e\)，考虑将自然数的情况推广到正实数：

由 \(\text{Archimedes}\) 原理，\(\exists n \in \N,n \leqslant x < n + 1\)

则有 \(\left(1 + {1 \over n + 1}\right)^n < \left(1 + {1 \over x}\right)^x < \left(1 + {1 \over n}\right)^{n + 1}\)，之后根据夹逼不难证明 \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1 + {1 \over x}\right)^x = e\)

负数的情况类似

六、无穷大与无穷小量

\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = \infty \iff \forall M > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), |f(x)| > M\)

\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0 \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), |f(x)| < \varepsilon\)

若 \(f(x) \to \infty, g(x) \to \infty (x \to x_0)\)，则 \(\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \begin{cases} 0 & f = o(g) \\ C \neq 0 & f \sim g \\ \infty & g = o(f)\end{cases}\)

函数的连续性

一、连续

1. 在一点连续

   设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的邻域内有定义且在 \(x_0\) 处有极限，若 \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续

2. 单侧连续

   若 \(\lim\limits_{x \to x_0^\pm}f(x) = f(x_0\pm0) = f(x_0)\)，则称单侧连续

3. 在区间上连续

   \(\forall x_0 \in I\)，\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续

二、间断

第一类间断点 \(\begin{cases}f(x_0 + 0) = f(x_0 - 0) \neq f(x_0) & 可去间断点\\f(x_0+0) \neq f(x_0 - 0) & 跳跃间断点\end{cases}\)

第二类间断点 \(f(x_0\pm0)\) 至少有一个不存在

三、性质

1. 局部有界

   \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续，则存在 \(x_0\) 的一个邻域，使得 \(f(x)\) 在邻域内有界

2. 四则运算（文略）

3. 若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续，\(g(t)\) 在 \(t_0\) 连续且 \(g(t_0) = x_0\) 则 \(f(g(t))\) 在 \(t_0\) 处连续

   \[\lim\limits_{t \to t_0}f(g(t)) = f(g(t_0)) = f(\lim\limits_{t \to t_0}g(t)) \]

4. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则（缓证）

   1. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有反函数 \(\iff\) \(f\) 在 \([a, b]\) 上严格单调
   2. \(f(x)\) 的反函数 \(f^{-1}(x)\) 在 \([a, b]\) 上也一定连续

四、初等函数连续性

结论：初等函数在其定义域内一定连续

五、闭区间上连续函数的性质

设 \(f(x)\mid_{[a, b]}\) 连续

介值性

定理（零点定理）

对 \([a, b]\) 上的连续函数 \(f(x)\)，若 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)，则一定存在 \(\xi \in (a, b), f(\xi) = 0\)

证明：

不妨设 \(f(a) < 0, f(b) > 0\)

1. \([a_m, b_m] \sub [a_{m - 1}, b_{m - 1}] \sub \cdots \sub [a, b]\)
2. \(b_n - a_n = \frac 1 2(b - a) \to 0, a_n \to \xi, b_n \to \xi\)

\(\Rightarrow \exists \xi \in [a, b]\)，使得 \(a_n \leqslant \xi \leqslant b_n\)

\(f(a_n) < 0 \Rightarrow f(\xi) \leqslant 0,f(b_n) > 0 \Rightarrow f(\xi) \geqslant 0\)

\(\Rightarrow f(\xi) = 0\),证毕

定理（介值定理）

设 \(\{f(x)\} \sub [a, b], f(a) \neq f(b)\)，则对 \(\forall\) 介于 \(f(a), f(b)\) 之间的 \(r\)，一定存在 \(f(\xi) = r\)

不动点

若 \(f([a, b]) = \{f(x) \mid x \in [a, b]\} \sub [a, b]\)，则一定 \(\exists x_0 \in [a, b], f(x_0) = x_0\)

有界性

定理：闭区间上连续函数一定有界

证明：

假设存在闭区间 \([a, b]\) 上的某个连续函数无界

则 \(\forall N, \exists x_n \in [a, b]\)，使得 \(|f(x_n)| \geqslant N\) \(\Rightarrow \exists\) 子列 \(x_{n_k} \to x_0 \Rightarrow x_0 \in [a, b]\)（保序性）

又根据 \(f(x)\) 的连续性， \(N_k \leqslant |f(x_{n_k})| \to |f(x_0)|\)，有界，矛盾

定理：闭区间上连续函数必取到最大（小）值

证明：

原命题即 \(\exists x^*, x_* \in [a, b]\)，使得 \(f(x^*) \geqslant f(x) \geqslant f(x_*)\) 对 \(\forall x \in [a, b]\) 成立

\(f(x)|_{[a, b]}\) 有界因此有上确界，记 \(M = \sup f(x), \forall n \in \N, M - \frac 1 n\) 不是上界

即 \(\exists x_n \in [a, b]\) 使得 \(M \geqslant f(x_n) \geqslant M - \frac 1 n\)

\(\Rightarrow \exists x_{n_k} \to x^* \in [a, b]\) 再令 \(n \to \infty\) 根据夹逼 \(f(x^*) = M \Rightarrow f(x^*)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 的最大值

最小值同理

定理：闭区间上的连续函数的值域也是闭区间 显然

定理： 闭区间上 \(f(x)\) 连续，$f(x) $有反函数 \(\iff\) \(f(x)\) 和 \(f^{-1}(x)\) 连续且严格单调

证明：

\((\Leftarrow)\) 显然

\((\Rightarrow)\) 考虑反证

\(\exists x_1 < x_2 < x_3\)，使得 \(f(x_2)\) 不在 \(f(x_1)\) 和 \(f(x_3)\) 之间

不妨设 \(f(x_2) < f(x_1) < f(x_3) \Rightarrow \exists \xi \in (x_2, x_3), f(\xi) = f(x_1)\)，矛盾

已知反函数严格单调，下证连续，即证 \(\forall \varepsilon > 0 \exists, \delta > 0\)，当 \(|y - y_0| < \delta\) 时，\(|f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon\)

令 \(x_0 = f^{-1}(y_0),y_1 = f(x_0 - \varepsilon), y_2 = f(x_0 + \varepsilon) \Rightarrow y_1 < y_0 < y_2\)

令 \(\delta = \min\{y_0 - y_1, y_2 - y_0\}\)，当 \(|y - y_0| < \delta\) 时

\(y_1 < y < y_0 + \delta \leqslant y_2 \Rightarrow f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y) < f^{-1}(y_2) \Rightarrow |f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)| < \varepsilon\)

六、一致连续性

定义：设 \(f(x)\) 在 \(I\) 上有定义，\(\forall \varepsilon > 0\)，如果 \(\exists \delta > 0\)，使得对 \(\forall x_0 \in I\)，

​ 当 \(|x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\) 成立，则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上一致连续

等价定义：\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，只要 \(|x' - x''| < \delta\)，就有 \(|f(x') - f(x'')| < \varepsilon\)

定理：闭区间上连续的函数一定一致连续

证明（反证）：

\(\exists \varepsilon_0 > 0\)，对 \(\forall n, \delta_n = \frac 1 n\)，当 \(|x_n - y_n| < \delta_n\) 时，有 \(|f(x_n) - f(y_n)| \geqslant \varepsilon_0\)

根据子列的收敛性可以证明 \(\lim\limits_{k \to \infty}|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = 0\)，矛盾

微分

一、导数

定义：设 \(f(x)\) 在 \(I\) 上有定义，\(x_0 \in I\)，若 \(\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) - f(x_0) \over x - x_0}\) 存在且有限，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，记为

\[f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}{f(x) - f(x_0) \over x - x_0} \]

单侧导数

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0^\pm}{f(x_0 + \Delta x) - f(x) \over \Delta x} = f'_\pm(x_0) \]

结论：左右导数存在且相等 \(\iff\) 导数存在

二、性质

1. 可导一定连续（连续不一定可导）

2. 四则运算

   1. \((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\)
   2. \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
   3. \(\left({f(x) \over g(x)}\right)' = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over (g(x))^2}(g(x) \neq0)\)

3. 复合函数求导

   \(y = f(x), x = g(t)\) 都可导，则 \(y = f(g(t))\) 也可导（链式法则证明）

三、高阶导数

\(f|_I\) 可导， \(f'|_I\) 函数若仍然可导，则 \(f''(x)|_I, \cdots\) 称为 \(f(x)\) 的高阶导数，记为 \(f^{(n)}(x) = (f^{n - 1}(x))'\)，或记为

\[{\text d^n y \over \text d x^n} = {\text d \over \text d x}\left({\text d^{n - 1} y \over \text d x^{n - 1}}\right) \]

\(\text{Leibnis}\) 定理：

\[(f \cdot g)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n{n \choose k}f^{(n - k)} \cdot g^{(k)} \]

若 \(\exists x_0 \in I, f(x_0) = f'(x_0) = \cdots = f^{(r)}(x_0) = 0\)，则称 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的 \(r\) 重零点

常用导数

1. \((\sin x)^{(n)} = \sin(x + {n\pi \over2})\)

2. 考虑 \(y = \arctan x\) 的在 \(x = 0\) 处的高阶导数

   一次求导：\(y'(1 + x ^ 2) = 1\)

   对该恒等式求 \(n - 1\) 阶导，根据 \(\text{Leibnis}\) 公式：

   \[(1 + x ^ 2)y^{(n)} + 2(n - 1)xy^{(n - 1)} + (n - 1)(n - 2)y^{(n - 2)} = 0 \]

   将 \(x = 0\) 代入得到：

   \[y^{(n)}(0) = -(n - 1)(n - 2)y^{(n - 2)}(0) \]

   又有 \(y(0) = 0, y'(0) = 1\)，分奇偶分析可得：

   \[y^{(2k + 1)}(0) = (-1)^k(2k)!, y^{(2k)}(0) = 0, k = 1, 2, \cdots. \]

四、参数表示的导数

对于参数方程

\[\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t)\end{cases}, t \in [\alpha, \beta] \]

表示的函数可导，如果 \(x'(t) \neq 0\)， 且 \(x = x(t)\) 存在可导的反函数 \(t = t(x)\)，则有

\[{\text dy \over \text dx} = {\text dy \over \text dt}{\text dt \over \text dx} = {y'(t) \over x'(t)} \]

类似的可以求得

\[{\text d^2y \over \text dx^2} = {y''(t)x'(t) - y'(t)x''(t) \over (x'(t))^3} \]

五、微分

定义：对于 \(y = f(x)\)，若存在一条直线使得 \(f(x) = f(x_0) + A(x - x_0) +o(\Delta x)\)，则称 \(f(x)\) 可微

结论：可微

\[\Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0}{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \over \Delta x} = A \]

\(\Rightarrow\) 可导且 \(f'(x_0) = A\)

六、微分中值定理

一、极值

定义：设 \(f(x)\) 在 \(I\) 上有定义，若 \(x_0 \in I\) 满足 \(\exists \delta > 0, |x - x_0| < \delta\) 时

​ \(f(x) \leqslant f(x_0)\) 则称 \(f(x_0)\) 是极大值；\(f(x) \geqslant f(x_0)\) 则称 \(f(x_0)\) 是极小值

二、\(\text{Fermat}\) 定理

若 \(f(x)\) 在 \(I\) 内部一点 \(x_0\) 取极值，且 \(f(x)|_I\) 可导，则 \(f'(x_0) = 0\)（根据导数的定义不难证明）

三、\(\text{Rolle}\) 定理

设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可导，\(f(a) = f(b)\)，则 \(\exists \xi \in (a, b), f'(\xi) = 0\)

证明：连续则有最值，不妨设 \(f(x)\) 不是常值函数 \(\Rightarrow\) 最大（小）值 \(\neq f(a) = f(b)\)

不妨设最大值点 \(\xi \in (a, b)\)，由于 \(f|_{(a, b)}\) 可导 \(\Rightarrow\) \(f'(\xi) = 0\)

四、\(\text{Lagrange}\) 定理

设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可导，则 \(\exists \xi \in (a, b)\) 使得

\[f'(\xi) = {f(b) - f(a) \over b - a} \]

证明：令 \(g(x) = f(x) - f(a) - {f(b) - f(a) \over b - a}(x - a)\)

\(g(a) = g(b) = 0,g'(x) = f'(x) - {f(b) - f(a) \over b - a}\)

根据 \(\text{Rolle}\) 定理，\(\exists \xi \in (a, b), g'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = {f(b) - f(a) \over b - a}\),证毕

六、\(\text{Cauchy}\) 中值定理

设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\((a, b)\) 上可导，且 \(g'(x) \neq 0\)，则 \(\exists \xi \in (a, b)\)，使得

\[{f'(\xi) \over g'(\xi)} = {f(b) - f(a) \over g(b) - g(a)} \]

证明与 \(\text{Lagrange}\) 定理证明类似

定理：

设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 上可导，若 \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 的左（右）极限存在，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的左（或右）导数满足

\(f'_{\pm}(x_0) = f'(x_0 \pm 0) \Rightarrow f'(x_0 - 0) = f'(x_0 + 0) = f'(x_0) \Rightarrow\) \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，\(f'(x)\) 的间断点一定无左右极限

结论：导函数不存在第一类间断点

七、\(\text{Darbsux}\) 定理（导函数的介值性）

设 \(f|_{[a, b]}\) 可导，则对于介于 \(f'(a), f'(b)\) 之间的任意值 \(\lambda\)，一定 \(\exists \xi \in [a, b]\)，使得 \(f'(\xi) = \lambda\)

证明：

不妨设 \(f'(a) < f'(b)\)，并考虑 \(f'(a) < 0 < f'(b)\)

\(\Rightarrow \lim\limits_{x \to a^+}{f(x) - f(a) \over x - a} = f'(a) < 0\)

\(\Rightarrow \exists \delta_1\) 使得当 \(x \in (a, a + \delta_1)\) 有 \({f(x) - f(a) \over x - a} < 0 \Rightarrow f(x) < f(a)\)

即当 \(x \in (a, a + \delta_1)\) 时，\(f(x) < f(a)\)，同理当 \(x \in (b - \delta_2, b)\) 时，\(f(x) < f(b)\)

\(\Rightarrow \min f(x)\) 一定在 \((a, b)\) 内部，即 \(\exists \xi \in (a, b)\) 使得 \(f'(\xi) = 0\)

对于 \(f'(a) < \lambda < f'(b)\)，令 \(g(x) = f(x) - \lambda x \Rightarrow g'(a) < 0 < g'(b)\)

\(\Rightarrow \exists \xi \in (a, b)\)，使 \(g'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = \lambda\)，证毕

八、\(\text{L'Hospital}\) 法则

结论：

\[\lim\limits_{x \to x_0}{f'(x) \over g'(x)} = l \Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = l \]

证明：

\(\frac 0 0\) 型：

因为 \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0, \lim\limits_{x \to x_0}g(x) = 0\)

不妨取 \(f(x_0) = 0, g(x_0) = 0 \Rightarrow f(x), g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续

\[{f(x) \over g(x)} = {f(x) - f(x_0) \over g(x) - g(x_0)} = {f'(\xi) \over g'(\xi)} \]

其中 \(|\xi - x_0| < |x - x_0|\)，所以当 \(x \to x_0, \xi \to x_0\)

\[\Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = \lim\limits_{\xi \to x_0}{f'(\xi) \over g'(\xi)} = l \]

\(\frac \infty \infty\) 型：

类似地取 \(\xi, x_0 < \xi < x_0 + \delta\)

\[{f(x) \over g(x)} = {f(x) - f(\xi) \over g(x) - g(\xi)} - {f(x) - f(\xi) \over g(x) - g(\xi)}{g(\xi) \over g(x)} + {f(\xi) \over g(x)} \]

令 \(x \to x_0, \xi \to x_0\)

\[{f(x) \over g(x)} \to {f'(x_0) \over g'(x_0)} \]

可以推导出高阶导和趋于无穷的情况，不再赘述。

七、单调性与凸性

一、单调性

设 \(f(x)\) 可导 \(\Rightarrow \begin{cases} f(x) \uparrow & \Rightarrow f'(x) \geqslant 0 \\ f(x) \downarrow & \Rightarrow f'(x) \leqslant 0\end{cases}\) ，极值点处一定有 \(f'(x) = 0\)

二、凸性

若对 \(\forall \alpha \in (0, 1)\)， 有

\[f(x_1 + (1 - \alpha)(x_2 - x_1)) \leqslant f(x_1) + (1 - \alpha)(f(x_2) - f(x_1)) \]

或者写成

\[f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2) \leqslant \alpha f(x_1) + (1 - \alpha)f(x_2) \\ \]

则称 \(f(x)\) 在定义域内是凸函数

由定义可推出等价结论：

\[{f(x) - f(x_1) \over x - x_1} \leqslant {f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1} \leqslant {f(x_2) - f(x) \over x_2 - x} \]

定理：

设 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续

1. 若 \(f|_I\) 可导，则 \(f(x)\) 凸 \(\iff f'(x)\uparrow\)（严格）
2. 若 \(f|_I\) 二阶可导，则 \(f(x)\) 凸 \(\iff f''(x) > 0\)

1. 证明：

   \((\Rightarrow)\) 分别求端点导数即可

   \((\Leftarrow)\) 拉格朗日中值

2. 证明同理可得

三、拐点

\(f(x)\) 凸性改变的点叫拐点

定理：

在 \(x_0\) 的邻域内，满足在 \(x_0\) 左边 \(f'(x) \uparrow\)，右边 \(f(x) \downarrow\)，则 \(x_0\) 是拐点

四、曲率

\[\alpha = \arctan{\text dy \over \text dx} = \arctan y' \Rightarrow {\text d\alpha \over \text dx} = {|y''| \over 1 + y'^2}\\ \kappa = {\text d \alpha \over \text d s} = {\text d \alpha \over \text d x} / {\text d s \over \text d x} = {|y''| \over 1 + y'^2} / \sqrt{1 + y'^2} = {|y''| \over (1 + y')^{\frac 3 2}} \]

用参数方程表示，设 \(x = \varphi(t), y = \psi(t), y = f(x)\)

\[\begin{aligned} \Rightarrow f' = {\psi' \over \varphi'}, f'' = {\psi''\varphi' - \varphi''\psi' \over \varphi'^3} \\ \Rightarrow \kappa = {\psi''\varphi' - \varphi''\psi' \over (\psi'^2 + \varphi'^2)^{\frac 3 2}} \end{aligned} \]

八、\(\text{Taylor}\) 展开

一、\(\text{Taylor}\) 公式

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近 \(n\) 阶可导

\(\text{Peano}\) 余项公式：

\[f(x) = f(x_0) + {f'(x_0) \over 1!}(x - x_0) + \cdots {f^{(n)}(x_0) \over n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n) \]

特别地当 \(x_0 = 0\) 时有：

\(\text{Maclaurim}\) 公式：

\[f(x) = f(0) + {f'(0) \over 1!}(x) + \cdots {f^{(n)}(0) \over n!}(x)^n + o(x^n), x \to 0 \]

待定系数法+多次 \(\text{L'Hospital}\) 法则可以求得各系数的值，满足余项是 \(n\) 次项的高阶无穷小

二、余项的估计

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的领域内有 \(n + 1\) 阶导数，\(T_n(x)\) 是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 \(n\) 阶 \(\text{Taylor}\) 多项式

则在 \(x\) 和 \(x_0\) 之间 \(\exists \xi\)，使得

\[f(x) = T_n(x) +{f^{(n + 1)} \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \]

证明：

设辅助函数

\[g(t) = f(t) - T_n(t) - {f(x) - T_n(x) \over (x - x_0)^{n+ 1}}(t - x_0)^{n + 1}, t \in I \]

\(g(t)\) 有 \(n + 1\) 阶导数，且满足

\[g(x_0) = g(x) = 0, g^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0) - T_n^{k}(x_0) = 0, k = 1, 2, \cdots, n \]

重复运用微分中值定理可推得

\[\exists \xi \in (x_0, x), g^{(n + 1)}(\xi) = f^{(n + 1)}(\xi) - (n + 1)!{f(x) - T_n(x)\over(x - x_0)^{n + 1}} \]

即

\[f(x) = T_n(x) + {f^{(n + 1)}(\xi) \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \]

并令

\[R_n(x) = {f^{(n + 1)}(\xi) \over (n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} \]

\(R_n(x)\) 称作 \(\text{Lagrange}\) 余项

推论：

1. 若 \(f(x)\) 的 \(n + 1\) 阶导数有界，\(|f^{(n + 1)}(x)| \leqslant M \Rightarrow \Rightarrow |R_n(x)| \leqslant {M \over (n + 1)!}|x - x_0|^{n + 1}\)

2. 若 \(f(x)\) 在 \(I\) 内 \(n + 1\) 阶可导，\(x_0\) 是 \(f(x)\) 的 \(r(r < n)\) 重零点当且仅当存在函数 \(g(x)\)

   \[f(x) = (x - x_0)^rg(x), g(x_0) \neq 0 \]

三、初等函数的展开式

下面给出部分初等函数具有 \(\text{Lagrange}\) 余项的 \(\text{Maclaurim}\) 公式

\[\begin{aligned} & e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + \cdots + {x^n \over n!} + {e^{\theta x} \over (n + 1)!}x^{n+1}, & -\infty < x < +\infty, \\ & \ln(1+x) = x - {x^2 \over 2!} + \cdots + (-1)^{n - 1}{x^n \over n} + {(-1)^nx^{n+1}\over(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}, & x > -1, \\ & \sin x = x - {x^3 \over 3!} + \cdots + (-1)^{m - 1}{x^{2m - 1} \over (2m - 1)!} + {(-1)^mx^{2m+1} \over (2m+1)!}\cos \theta x, & -\infty < x < +\infty, \\ & \cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + \cdots + (-1)^{m - 1}{x^{2m - 2} \over (2m - 2)!} + {(-1)^mx^{2m} \over (2m)!}\cos \theta x, & -\infty < x < +\infty, \\ & (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + {\alpha(\alpha - 1) \over 2!}x^2 + \cdots + {\alpha^{\underline{n}} \over n!}x^n + {\alpha^{\underline{n + 1}} \over (n + 1)!}x^{n + 1}(1 + \theta x)^{\alpha - n - 1}, & x > -1 \end{aligned} \]

结论：初等函数在定义域内任意一点可以展开成任意阶的 \(\text{Taylor}\) 多项式

\(\text{Taylor}\) 展开的一些用途：

1. 可以用 \(\text{Taylor}\) 展开方便地求函数的高阶导
2. 化为多项式方便计算极限