【好题】思维+几何+弦的圆心角——ICPC GNYR 2019 E

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两个重要的结论：
    1.将每条边强行移到圆上，如果多边形所有边的圆心角之和=2pi，那么圆心在多边形中；>2pi,那么圆半径太小；<2pi，圆半径太大 
    2.不管按什么顺序摆放边，都不影响多边形的对应其外接圆(如果有)的圆心角之和 

给定多边形的各边边长，要求构造出一个多边形，使其所有点在外切圆上，且圆心在多边形内，半径<=120
首先是NO CIRCLE：所有边组不成三角形，即最长边>=其余边之和
然后是OUTSIDE：参考钝角三角形，以最长边为直径，如果其他边的圆心角之和<pi，说明圆心必定在多边形外面 
然后是TOO BIG: 直接以120为半径，如果所有边圆心角之和==2pi，则符合 
然后是二分求最小半径：所有边圆心角之和>2pi,那么半径要扩大，反之要收缩 
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 205
#define db double

const db pi = acos(-1.0);
const db eps = 1e-6;
int sign(db x){
    if(x>eps)return 1;
    if(x<-eps)return -1;
    return 0;
}

db sum,l[N];
int n;

db calc(db r){// 以r为半径，把所有边当成弦，求所有弦对应的圆心角之和 
    if(sign(l[n]-2*r)>0)return -1;
    db res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        res+=asin(l[i]/(2.0*r));
    return res*2.0;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>l[i];
    sort(l+1,l+1+n);
    
    for(int i=1;i<n;i++)sum+=l[i];
    if(sign(l[n]-sum)>=0){
        puts("NO CIRCLE");return 0;
    }
    db sumang=calc(l[n]/2);
    if(sign(sumang-2*pi)<0){
        puts("OUTSIDE");return 0;
    }
    sumang=calc(120.0);
    if(sumang==-1 || sign(sumang-2*pi)>0){
        puts("TOO BIG");return 0;
    }
    
    db L=l[n]/2,R=120.0,mid,ans;
    for(int t=1;t<=50;t++){
        mid=(L+R)/2;
        sumang=calc(mid);
        if(sumang==-1)
            L=mid;
        else if(sign(sumang-2*pi)>0)
            L=mid;
        else if(sign(sumang-2*pi)<0)
            R=mid;
        else ans=mid,R=mid; 
    }
    
    printf("%.4lf\n",ans);
}