矩阵乘问题

1. 问题

矩阵链乘法，特别要求举例时采用不同于讲义的数据进行推导。

2. 解析

设A1,A2,A3,…,An为n个矩阵的序列，其中Ai为Pi-1×Pi阶矩阵，这个矩阵链的输入用向量P=<P0,P1,P2,…,Pn>给出。

给定向量 P，确定一种乘法次序，使得基本运算的总次数达到最小。

例如，P=<2,4,6,8>,A1:2×4,A2:4×6,A3:6×8

1)(A1A2)A3=246+268

2)A1(A2A3)=248+468

Ai…j:表示矩阵链相乘的子问题Ai，Ai+1…Aj； M[i…j]:表示得到乘积Ai…j所用的最少基本运算次数；假设，最后一次相乘发生在矩阵链Ai…k和Ak+1…j之间，即

 

 

 

r为问题规模，n=3，i为起点=n-r+1，j为终点=i+r-1。

(1)r=1

m[1,1]=0;

m[2,2]=0;

m[3,3]=0;

(2)r=2,i=1,2;j=2,3

m[1,2]=246=48;

m[2,3]=468=192;

(3)r=3,i=1;j=3

m[1,3]=min{m[1,2]+m[3,3]+(A1A2)A3,m[1,1]+m[2,3]+A1(A2A3)};

3. 设计

 

 

 

4. 分析

T(n)=O(n3)

5. 源码

[github源码地址]