prim，kruskal算法求最小生成树
prim算法
1. 问题
假设无向图G，V为无向图顶点集合，E为无向图的边的集合。由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
2. 解析
设置2个数组，
lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也 就是表示i点加入了MST
mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i 加入MST,我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：
lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*
mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）
明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST，此时，因为点V3的加入， 需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3
明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST，此时，因为点V6的加入， 需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0
明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST，此时，因为点V4的加入， 需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0
明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST，此时，因为点V2的加入， 需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0
很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST
lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0
至此，MST构建成功
3. 设计
prim{
for (i = 2; i <= n; i++)
{
lowcost[i] = 以i为终点的最小权值
mst[i] = 默认从v1出发
}
mst[1] = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
min = MAXCOST;
minid = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
/* 边权值较小且不在生成树中 */
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
{
min = lowcost[j];
minid = j;
}
}
printf("%c - %c : %d\n", mst[minid] + 'A' - 1, minid + 'A' - 1, min);
将min累加
lowcost[minid] = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
更新minmid到其他节点权值
}
}
return sum;
}
4. 分析
Prim算法的时间复杂度与网中的边数无关，适合于稠密图，时间复杂度O(n²)，但可以用堆优化，优化后的Prim算法时间复杂度O(mlogn)。
5.[github源码地址]
Kruskal
1. 问题
假设无向图G，V为无向图顶点集合，E为无向图的边的集合。由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
2. 解析
首先，在初始状态下，对各顶点赋予不同的标记（用颜色区别），如下图所示：
（1）
对所有边按照权值的大小进行排序，按照从小到大的顺序进行判断，首先是（1，3），由于顶点 1 和顶点 3 标记不同，所以可以构成生成树的一部分，遍历所有顶点，将与顶点 3 标记相同的全部更改为顶点 1 的标记，如（2）所示：
（2）
其次是（4，6）边，两顶点标记不同，所以可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：
（3）
其次是（2，5）边，两顶点标记不同，可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：
（4）
然后最小的是（3，6）边，两者标记不同，可以连接，遍历所有顶点，将与顶点 6 标记相同的所有顶点的标记更改为顶点 1 的标记：
（5）
继续选择权值最小的边，此时会发现，权值为 5 的边有 3 个，其中（1，4）和（3，4）各自两顶点的标记一样，如果连接会产生回路，所以舍去，而（2，3）标记不一样，可以选择，将所有与顶点 2 标记相同的顶点的标记全部改为同顶点 3 相同的标记：
（6）
当选取的边的数量相比与顶点的数量小 1 时，说明最小生成树已经生成。所以最终采用克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树为（6）所示。
3. 设计
A=∅
For each vertex v ∈G,V
Make-set(v)
Sort the edges of G,E into nondecreasing order by weight w
For each edge(u,v)∈G,E, taken in nondecresing order by weight
If find-set(u)≠find-set(v)
A=AU{(u,v)}
Union(u,v)
Return A
1、初始化生成树的边集A为空集
2、对集合中的每一个顶点，都将它的集合初始化为自身
3、将边按权值进行排序
4、对排序好后的边从小到大进行判断：如果这条边所连的2个顶点不在同一个集合中，则将这条边加入到生成树的边集A中，并将此边所连的两个顶点u和v的集合做一个Union操作，如此循环加到生成树中的边集数量为n-1时停止
4.分析
初始化生成树的边集A为空集：O(1)
对集合中的每一个顶点，都将它的集合初始化为自身：O（V）
将边按权值进行排序：O（ElogE）
对排序好后的边从小到大进行判断，如果这条边所连的2个顶点不在同一个集合中，则将这条边加入到生成树的边集A中，并将此边所连的两个顶点u和v的集合做一个Union操作，如此循环加到生成树中的边集数量为n-1时停止由于各个子块不是嵌套的而是顺序的，所以时间复杂度取最高的那个即为O（ElogE）
5.源码
