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足球门的危险区域问题

1.问题的提出

在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不一样的.在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射.已知标准球场长为104m，宽为69m；球门高为2.44m，宽为7.32m.
实际中，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可认为这种差别不大、另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10m/s左右请你结合球场和足球赛的实际情况建模分析，并研究下列问题：
（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域；
（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究.

2.问题的分析（精华）

根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域.球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域，影响球员射门命中率的因素有很多，其中最重要的两点是球员基本素质（技术水平）和射门时的位置.对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究.也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。
某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率.****事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。稍作分析容易断定，该分布应当是二维的正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面.将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可以得到这次射门命中球门的概率.然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域.

3.模型的假设

（1）在理想状态下，认为球员是同质的，即基本素质相同，或差别不大；
（2）不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10m/s；
（3）球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；
（4）只考虑标准的球场：（104×69）m^{2和球门：（7.32×2.44）m}2.

4.符号说明

Q表示半场上的一个球门所在平面，是地面以上的半平面；D。表示球门内有点在平面Π上所表示的区域，即D。∈Ω；A（x，y）表示球场上的点，（x，y）为其坐标；B（y，z）表示球门内的点，（y，z）为其坐标；p（y，z）表示从球场上A点对准球门内B点射门时，命中球门的概率；D（x，y）表示球场上（x，y）点对球门的威胁度；k表示球员的基本素质，是一个相对指标；d表示球场上A点到球门内B点的直线距离；8表示直线AB在地面上的投影线与球门平面x的夹角（锐角）.

根据著名的“纸条实验”可得到一般人反应时间约为[2^(1/2)]/10 s