week2

一 分治法怎么做
问题：给定 n 个互不相同（或有重复）的数 a 和一个整数 k （1≤k≤n ），找出其中第 k 小的数（即排序后第 k 个位置上的数）。特别地， k=1 是最小值， k=n 是最大值， k=⌈n/2⌉ 是中位数。
最笨但正确的做法：先排序，再取下标 k。代价 Θ(nlogn) 。
关键洞察：找第 k 小不需要把整个序列排好序，只需要知道“谁站在第 k 个位置上”。排序做了大量“多余的工作”——它把不该排的部分也排了。分治的精髓就在于：每次只进入有必要的那一半，扔掉另一半。
这个洞察直接引出了下面的算法。它的思想源头是快速排序的 partition（划分）：选一个枢轴 pivot，把比它小的放左边、比它大的放右边。划分完后，pivot 落在了它的“最终位置” p 上：
若 p=k ：找到了，pivot 就是答案；
若 p>k ：答案一定在左半段，右边整段丢弃；
若 p<k ：答案一定在右半段，左边整段丢弃，且只要在右半段里找第 k−p 小即可。
二 时间复杂度
无论哪种版本，partition 这一步都要扫描整个当前区间，代价是 Θ(区间长度) 。所以任何情况下总工作量都不可能低于 Θ(n) ——这是问题的下界（至少要把每个数看一遍才知道谁第 k 小）。因此最好时间复杂度的上界就是 Θ(n) ，不可能出现 O(1) 、 O(logn) 这种答案。
随机化选择 Randomized-Select
最好情况：第一次选的 pivot 恰好就是第 k 小的元素。此时只做一次 partition 就结束：T best(n)=Θ(n)
最坏情况：每次都选到极值（例如数组已有序、且总是选到最小或最大元素），每次只丢掉 1 个元素，递归深度为 n：T worst(n)=T(n−1)+Θ(n)=Θ(n^2 )
这与快排的最坏情况同源。例如在升序数组中找最大值，且每次都取首元素作 pivot，就会逐次只排除一个元素。
三 对分治法的体会与思考
分而治之，我们无法一次性处理规模为 n 的问题，但如果能把问题切成足够小的、结构相同的碎片，碎片就会自己给出答案。而算法设计，就体现在“怎么切”——切得太浅，省不下工夫；切得太狠，切分本身的代价就吃掉了收益。选择问题之所以重要，正是因为它展示了同样的切分思想，换一个 pivot 策略，就能从 O(n^2 ) 走到 O(n) 。这也说明同一个分治框架下，细节决定量级。
运用主定理。看到一段递归就能立刻写出 T(n)=aT(n/b)+f(n) ，然后凭 log b a 与 f(n) 的对比判断它是 O(n) 、 O(nlogn) 还是 O(n^2) 。遇到主定理套不上的（如本题的 T(n/5)+T(7n/10)+n ，两个子问题规模不同），就回到递归树或代入法,当工具失效时就回归定义。
随机化选择的好在于：最坏情况不再由输入决定，而是由随机数生成器决定。因此对任意固定输入，算法出错的概率都可控。
计算机的实际运行：先用快选，一旦递归深度超过某个阈值就切换到 BFPRT。这就是“理论保底 + 实践优先”的混合策略。
分治三步曲——分解（Divide）、解决（Conquer）、合并（Merge），真正决定成败的是两条：子问题必须独立且同构（否则无法递归）；合并的代价必须压得住（否则省不下来）。归并排序之所以成功，是因为合并两个有序表只要 O(n) ；如果合并要 O(n^2) ，整个算法就废了。本题的选择问题更进一步：它甚至不需要合并，因为答案只在一边，另一边的信息彻底无用。这说明分治不是死板的模板，而是一种“能不能通过舍弃来省钱”的思维方式.
分治不是万能药，它怕两件事：子问题不独立、子问题太多。
比如最长公共子序列如果暴力分成四种情况，会产生重叠子问题，纯分治会指数爆炸，这时必须升级为动态规划（分治 + 记忆化）。反过来，如果划分后子问题个数太多（如 Strassen 之前的大整数乘法是 4 个子问题，仍是 O(n 2) ），就必须靠数学技巧减少子问题数目（Strassen 降到 7 个，才变成 O(n 2.81 ) ）。所以分治、贪心、动规其实是一条谱系上的不同落点，区别在于最优子结构的形态和有没有重叠子问题。