Epigraph Reformulation

[原问题]

\[\min_{x}\quad{c^T}x \]

\[s.t. \quad{Ax}\leq{b} \]

Epigraph reformulation:

[等价问题]

\[\min_{s,x}\quad{s} \]

\[s.t.\quad{c^Tx}\leq{s} \]

\[\quad\quad{Ax}\leq{b} \]

• \(s\)可以看作是\(c^Tx\)的上界。由于目标函数的设定，计算过程会把\(s\)压得尽可能小，但它不会小于\(c^Tx\)；此时为了达到最优（即让\(s\)最小），会巧妙地选取\(x\)，使得\(c^Tx\)最小，即\(\min_x\,\,{c^Tx}\)。

• 所以，在最优解处，\(s\)必然恰好等于\(c^Tx\)

[证明]

• 设\((s^*,x^*)\)是等价问题的最优解。若\(c^Tx^*<s^*\)，则令\(s'=c^Tx^*<s^*\).

• 这个\(s'\)是满足约束\(c^Tx^*\leq{s'}\)的；且\(x^*\)也满足约束\(Ax^*\leq{b}\).

• 但\(s'<s^*\)，也就是说\(s^*\)并不是最小的可行解，与\((s^*,x^*)\)是最优解矛盾.

• 因此，最优时必有\(s^*=c^Tx^*\)