广义线性函数

回顾回归和分类的例子，在回归例子中：

在分类例子中：

可以看出，μ 和 Φ 是作为 x 和 θ 的函数来定义的。

这两个模型其实都只是一个广大模型家族的特例，广义线性模型。我们也将演示广义线性模型家族的其它模型如何推导，并如何应用到分类和回归问题中的。

在讨论广义线性模型之前，我们先来定义指数分布簇。当一个分布能写成以下形式时，我们就说它属于指数分布簇。

η 是分布的自然参数；

T(y) 是充分统计量，通常 T(y)=y；

a(η) 被称为 log partition function；

e^-a(η) 起着归一化常数的作用，保证分布 p(y;η) 积分从 y 到 1。

当参数 a、b、T 固定后，就定义了一个以 η 为参数的分布簇。改变 η，就得到这个分布簇的一个不同分布。

伯努利和高斯分布其实也是指数簇分布的特例。

伯努利分布均值为 Φ，y 只有 0 和 1 两个值。

改变 Φ，就得到不同均值的伯努利分布。

通过选择 T、a 和 b，指数分布簇通用公式能变成伯努利分布。先来把伯努利分布变成指数分布簇的形式。

跟指数分布簇公式相比对：

可得：

其中 η=log(Φ/(1-Φ))，那么 Φ=1/(1+e^-η)，这就是熟悉的 simoid 函数，这就是说我们把 Logistic 回归当做广义线性回归来推导的话也能推出 sigmoid 函数。

接下来看高斯分布，记得在线性回归的推导时，方差 σ² 的值对我们最后的 θ 和 h_θ(x) 值没有任何影响。所以，我们给 σ² 随便选个值就行，方便起见，令 σ²=1，得：

其中：

可见，高斯也属于指数分布簇。

还有其它的很多分布也属于指数分布簇，如多项式分布、泊松分布、伽马分布、指数分布、贝塔分布和 Dirichlet 分布等。

下面讲广义线性模型。

假定你想要建一个模型来估计在某个时刻到商店的顾客个数，或者估计你的网页的浏览量，基于一些特征，如促销活动、最近的广告、天气、星期几等。我们知道泊松分布通常是这种好模型。怎么才能针对我们的问题建模呢？泊松分布是个指数分布簇，所以我们可以使用广义线性模型。

考虑下分类和回归问题，把随机变量 y 作为 x 的函数，来预测 y 值。在这个问题上，我们要推导广义线性模型，关于 y 对 x 的条件分布，我们将做一下三种假设：

1、y|x;θ~ExponetialFamily(η)。即给定 x 和 θ，y 符合以 η 为参数的指数簇分布。（假设一讲的是广义线性模型的核心。广义线性模型广体现在）

3、自然参数 η 和输入 x 成线性关系：η=θ^Tx。

这三个假设使我们可以导出一个非常优雅的学习算法类，称作 GLMs，有很多属性如易学习。而且，模型对于建模关于 y 的不同分布是很有效的，如 Logistic 回归和最小二乘模型就可以由 GLMs 导出。

先来演示 GLM 簇模型的一个特例，最小二乘。目标变量 y 是连续的，我们把 y 对于 x 的条件分布建模为高斯分布 Ν(μ,σ²)，这里 μ 依赖于 x。所以，我们让这里的 ExponetialFamily(η) 分布为高斯分布，高斯作为指数簇分布的形式中，μ=η。有

第一个等式符合上面的假设 2，第二个等式符合事实 y|x;θ~Ν(μ,σ²)，所以期望值是 μ，第三个等式符合假设 1（我们早先的求导显示高斯分布作为指数分布簇 μ=η），最后一个等式符合假设 3。

再来看 Logistic 回归，y€{0,1}，，y 是二值的，所以看起来选择伯努利分布来建模 y 对于 x 的条件分布是很自然的。伯努利分布属于指数分布簇，Φ=1/(1+e^-η)。y|x;θ~Bernoulli(Φ)，所以 E[y|x;θ]=Φ。

假设函数 h_θ(x)=1/(1+e^-θTx) ，之前我们想知道为什么使用 Logistic 函数 1/(1+e^-z)，这就是答案：一旦我们假定基于 x 的 y 的条件分布是伯努利，那么它就是GLMs 和指数分布簇的定义的结果。

多介绍一些术语，函数 g，作为自然参数的函数给定的分布均值，被称为正则响应函数（canonical response function），它的反函数 g 是正则关联函数（canonical link function）。所以，正则响应函数对于高斯家族只是 identity 函数，对于伯努利是 logistic 函数。

我们证实了 Logistic 回归和线性回归都属于广义线性模型，那么这个广义线性模型 GLM 有什么用呢？我们能通过 GLM 解决更多的问题吗？如何解决？下面就来举个例子。

考虑一个分类问题，响应变量 y 能取 k 个值，所以 y€{1,2,...,k}。例如，我们不仅想把邮件分为垃圾邮件和非垃圾邮件，可建成二分类问题，还想把邮件分为垃圾邮件、私人邮件和工作邮件。响应变量依然是离散的，但能取多个值。我们将把它建模成多项式分布。

为对这类多项式数据建模，我们先来推导 GLM。我们先把多项式表示为一个指数分布簇。

k 个参数 Φ₁,Φ₂,...,Φ_k 指定了每个输出的概率。事实上，这些参数是有冗余的，因为 Φ₁+Φ₂₊...+Φ_k=1，所以，我们可以参数化多项式为 k-1 个参数 Φ₁,Φ₂,...,Φ_k-1，其中 Φ_i=p(y=i;Φ)，p(y=k;Φ)=1-(Φ₁+Φ₂₊...+Φ_k-1)。为表示方便，我们也可以让 Φ_k=1-(Φ₁+Φ₂₊...+Φ_k-1)，但应知道这不是个参数。

将多项式表示成一个指数分布簇，我们定义 T(y)€R^k-1 如下：

跟之前的例子不一样，这里不是 T(y)=y， T(y)现在是一个 k-1 维的向量，而不是一个实数。我们用 (T(y))_i 表示向量 T(y) 的第 i 个元素。

这里介绍一个有用的符号。指示函数 1{·}，1{True}=1，1{False}=0。例如，1{2=3}=0，1{3=5-2}=1。所以，我们可以把 T(y) 和 y 的关系写成 (T(y))_i=1{y=i}}，更进一步，E[(T(y))_i]=p(y=i)=Φ_i。

现在我们将演示，多项式是指数分布簇：

其中：

这就完成了多项式作为指数分布簇的形式化。

关于 η 可以跟伯努利分布 η=log(Φ/(1-Φ)) 和高斯分布 η=µ 作个对比。

连接函数为：

方便起见，定义 η_k=log(Φ_k/Φ_k)=0。为转化连接函数，导出响应函数，我们有

这表示 Φ_k=1/(e^η1+e^η2+...+e^ηk)，响应函数：

这个从 η 映射到 Φ 的函数称作 softmax 函数。

继续完善我们的模型，使用 GLM 的假设 3，η_i 跟 x 的线性相关。所以，η_i=θi^Tx(i=1,...,k-1)，其中 θ₁,...θ_k-1 €R^k+1 是我们模型的参数。方便表示起见，我们也定义 θ_k=0，所以 η_k=θ_k^Tx=0。所以，我们的模型假定给定 x 后 y 的条件分布为：

这种模型，应用到分类问题，y€{1,...,k}，被称为 softmax 回归。这是 Logistic 回归的归纳。

我们的假设将有：

换句话说，我们的假设将输出 p(y=i|x;θ) 的概率估计，对于每个 i=1,...,k。

上面 h_θ(x) 的公式可跟线性回归和 Logistic 回归的 h_θ(x) 作对比：

最后讨论寻找最佳参数。跟最小二乘和 Logistic 回归的原始求导类似，如果我们有 m 个例子的训练集 {(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾);i=1,...,m}，想要学习这个模型的参数 θ_i，log 似然函数为：

现在我们可以通过最大化 l(θ) 的 θ 来最大化似然估计，使用梯度下降或者牛顿方法。

关于 l(θ) 依然可以跟线性回归和 Logistic 回归做对比。

前文从线性回归和 Logistic 回归引出广义线性回归的概念，很多人还是很困惑，不知道为什么突然来个广义线性回归，有什么用？只要知道连续值预测就用线性回归、离散值预测就用 Logistic 回归不就行了？还有一些概念之间的关系也没理清，例如线性回归和高斯分布、Logistic 回归和伯努利分布、连接函数和响应函数。

这种困惑是可以理解的，前文为了引导快速入门，从实战解题的角度推出了答案，但对其背后的概率假设解释不足，虽然线性回归专门开辟一节来介绍高斯分布假设，但很多人误以为这一节的目的只是为了证明最小均方误差的合理性，Logistic 回归的伯努利分布假设也需做解释。

线性回归是建立在高斯分布的假设上，Logistic 回归是建立在伯努利分布的假设上。如果不能从概率的角度理解线性回归和 Logistic 回归，就不能升一级去理解广义线性回归，而广义线性模型就是要将其它的分布也包纳进来，提取这些分布模型的共同点，成为一个模型，这样再遇到其它分布，如多项式分布、泊松分布、伽马分布、指数分布、贝塔分布和 Dirichlet 分布等，就可以按部就班地套模型进行计算了。

有些同学不明白的是，「当给定参数 θ 和 x 时，目标值 y 也服从正态分布」，这里 y 服从的是均值为 θ^Tx 的正态分布，当我们训练得到参数 θ 后，那么对于不同的 x 值，y 服从的就是不同均值的正态分布。伯努利分布也一样。

要想掌握广义线性模型，得亲自动手做一个实例。

下面我们从概率的角度重新审视线性回归、Logistic 回归，来加深对广义线性模型的理解。

先说线性回归，假设是 y⁽ⁱ⁾|x⁽ⁱ⁾;θ~N(θ^Tx⁽ⁱ⁾,σ²)，因为 σ² 对 θ 值和 h_θ(x) 值没有影响，所以我们不妨设 σ²=1，那么