子群
子群
定义和例子
一个简单的方法来拆分任何带有一系列公理的数学结构的方法，来研究同样带有公理的数学结构。我们开始这个工程来研究群的子群。
第二个拆分数学结构的方法就是来研究它的商结构，商群的概念，这是一个方式来拆分一个群变成更小的群(我们将在下一个章节学习)
子群的定义
G为群，G的子集H是G的子群，如果H是非空的，H在积和逆运算下是封闭的。如果H是G的子群，我们记做\(H < G\)
例子
\((ii)\)每一群G其实都有两个平凡的子群\(H=G,H=\{1\}\)
推论
(子群的标准:)\(H\)是\(G\)的子群，当且仅当：
\((i)H \neq \varnothing\)
\((ii) \forall x,y \in H,xy^{-1} \in H\)
如果H是有限的，我们需要确定H的封闭性
证明：
首先指出这个证明是双向的，然后我们考虑，其实对于一个a来说，就有\(x^{-1}x=e\)的事实，我们这样就能得到\(e\)这个很重要的元素在\(H\)中，然后对于每个\(a\)来说，\(ea^{-1}\)同样也在里面，我们就可以确认每个元素的逆元也在里面，显然群的性质就已经确认了(这个推论确实简化了子群的判别，子群的判别说到底是涉及了两个集合，\(G,H\)，推论从\(H\)里面出发，然后确定\(G\)与\(H\)的关系)
练习题
- 在下面列出的(a)-(e)里面，证明 给定的子集是给定群的子群:
(a)一个集合包含形式\(a + ai,a\in\mathbb{R}\)的复数（在加法结合律下）
(b)一个集合包含形式绝对值为1的复数, 例子:在平面上一个单位圆（在加法结合律下）
(c)n为固定，分母为n的有理数的集合
(d)n为固定，一个分母对于n来说是质数的有理数集合
(e)非零实数集，其平方是有理数
8.\(H\)和\(K\)是\(G\)的子群 ，证明 \(H\cup K\) 是\(G\)的一个子群当且仅当 \(H \subset K\)或者 \(K \subset H\).
我们利用反证法,假设不成立 \(H \subset K\)和 \(K \subset H\),我们能得到\(\exists h \in H,h\notin K\),因为\(H \cup K\)是G的一个子群，所以\(hk \in H \cup K\),
我们有\(h k \in H\)或者\(h k \in K\),然后我们有\(k=h^{-1}(h k) \in H\)，与假设矛盾
12.\(A\)为交换群，然后固定\(n \in \mathbb{Z}\)我们证明下面的集合是A的子群：
\((a)\{a^n|a \in A\}\)
\((b)\{a \in A |a^n =1\}\)
证明\(:(1)a^{n}b^{-n}=(ab^{-1})^{n}\)(利用交换群性质，把\(a,b\)弄得更加紧凑),然后根据群的性质,\(ab^{-1} \in A\),\((ab^{-1})^{n} \subset A\)
\((2)\) \((a b)^{m n}=\underbrace{(a b)(a b) \cdots(a b)}_{m n \text { times }}=a^{m n} b^{m n}\),利用交换群性质，把\(a,b\)弄得更加紧凑，由于\(a^n=e,b^m=e,a^{mn}={a^n}^{m}=e,b^{mn}={b^m}^{n}=e\)
