ABC-405-F - Chord Crossing 和弦交叉（如何离线计算相交区间数量）

思路讲解

像这种题目，一般来说是通过一些离线想法，比如排序什么的，然后运用一些数据结构计算端点的数量。

这道题目本质上是要离线计算相交而不包含的区间数量。

通过离线，保证一个端点一定符合要求，另一个端点数量使用树状数组求出。

	ll idx=1;
	FOR(i,1,Q){
		ll l=que[i][0],r=que[i][1],ind=que[i][2];
		while(idx<=M){
			// 我们保证了实线r大于虚线r。
			if(lr[idx][1]<r){
				break;
			}
			trl.add(lr[idx][0],1);
			++idx;
		}
		// 要求实线l小于虚线r大于虚线l
		Ans[ind]=trl.query(l,r);
	}
	sort(que+1,que+1+Q);
	sort(lr+1,lr+1+M);
	idx=1;
	FOR(i,1,Q){
		ll l=que[i][0],r=que[i][1],ind=que[i][2];
		while(idx<=M){
			// 我们保证了实线l小于虚线l。
			if(lr[idx][0]>l){
				break;
			}
			trr.add(lr[idx][1],1);
			++idx;
		}
		// 要求实线l小于虚线r大于虚线l
		Ans[ind]+=trr.query(l,r);
	}

AC代码

https://atcoder.jp/contests/abc405/submissions/66033424

```cpp
// Problem: F - Chord Crossing
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 405
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc405/tasks/abc405_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 3000 ms
// by znzryb
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define SZ(a) ((int) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define getFro(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define getBac(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define DEBUG(variable) \
    do { \
        std::cerr << #variable << ":"; \
        for (const auto& elem : variable) { \
            std::cerr << elem << " "; \
        } \
        std::cerr << "\n"; \
    } while (0)
#define uniVec(var) \
    do { \
        sort(var.begin(),var.end());\
        var.resize(unique(var.begin(),var.end())-var.begin());\
    } while (0)
#define debugN(var,N) \
	do{ \
		std::cerr<<#var<<":"; \
		FOR(i,1,N){ \
			std::cerr<<var[i]<<" "; \
		} \
		std::cerr<<"\n"; \
	}while(0)
#define debugMap(variable) \
    do { \
        std::cerr << #variable << ":\n"; \
        for (const auto& pair : variable) { \
            std::cerr << "  " << pair.first << " => " << pair.second << "\n"; \
        } \
        std::cerr << std::endl; \
    } while (0)
#define lson(var) (var<<1)
#define rson(var) ((var<<1)+1)

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr3;
typedef array<ll,2> arr2;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef pair<DB,DB> pdd;
typedef pair<ll,bool> plb;
constexpr ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10,INF=static_cast<ll>(1e18)+3;
constexpr ll mod=static_cast<ll>(1e9)+7;
constexpr double eps=1e-8;

ll N,M,K,T,A[MAXN];
ll Ans[MAXN];
arr2 lr[MAXN];
arr3 que[MAXN];
/*

*/
struct BIT {  // 普通的单点修改区间查询树状数组，含有查找第K个空位的功能
  vector<ll> tr;
  int n;
  inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
  BIT(int ln) {  // 构造+初始化函数
    n = ln;
    tr.resize(n+5,0);
  }
  inline void add(int p, int x) {
  	if(p==0) return;
    while (p <= n) {
      tr[p] += x;
      p += lowbit(p);
    }
  }
  inline ll query(int l, int r) {
    ll lres = 0, rres = 0;
    l -= 1;
    while (l > 0) {
      lres += tr[l];
      l -= lowbit(l);
    }
    while (r > 0) {
      rres += tr[r];
      r -= lowbit(r);
    }
    return rres - lres;
  }
  inline int findKth(int k) {  // 找到第k个空位
    int cx = 0;
    for (int i = 1 << 20; i > 0; i >>= 1) {  // 这个你可以理解为不断缩小步长的搜索
      if (cx + i <= n && lowbit(cx + i) - tr[cx + i] < k) {
        // lowbit(cx)-tr[cx+i] 表示cx+i这个树状数组区间有多少空位
        k -= lowbit(cx + i) - tr[cx + i];
        cx += i;
      }
    }
    return cx + 1;  // 我们始终让cx < k，所以返回的就是最大的比k小的，+1就是新空位出现的地方
  }
};
inline bool rFirst2(arr2 a,arr2 b){
	return a[1]>b[1];
}
inline bool rFirst3(arr3 a,arr3 b){
	return a[1]>b[1];
}
inline void solve(){
	cin>>N>>M;
	FOR(i,1,M){
		ll u,v;
		cin>>u>>v;
		lr[i]={u,v};
	}
	sort(lr+1,lr+1+M,rFirst2);
	ll Q;
	cin>>Q;
	FOR(i,1,Q){
		ll a,b;
		cin>>a>>b;
		que[i]={a,b,i};
	}
	// 按左端点从大到小，因为大的虚线左端点只用考虑比他还大的实线左端点
	sort(que+1,que+1+Q,rFirst3);
	BIT trl(2*N),trr(2*N);
	ll idx=1;
	FOR(i,1,Q){
		ll l=que[i][0],r=que[i][1],ind=que[i][2];
		while(idx<=M){
			// 我们保证了实线r大于虚线r。
			if(lr[idx][1]<r){
				break;
			}
			trl.add(lr[idx][0],1);
			++idx;
		}
		// 要求实线l小于虚线r大于虚线l
		Ans[ind]=trl.query(l,r);
#ifdef LOCAL
	if(ind==2){
		debug(trl.query(l,r));
		debug(l);
		debug(r);
		FOR(j,1,idx){
			debug(lr[j][0]);
			debug(lr[j][1]);
		}
	}
#endif
	}
	sort(que+1,que+1+Q);
	sort(lr+1,lr+1+M);
	idx=1;
	FOR(i,1,Q){
		ll l=que[i][0],r=que[i][1],ind=que[i][2];
		while(idx<=M){
			// 我们保证了实线l小于虚线l。
			if(lr[idx][0]>l){
				break;
			}
			trr.add(lr[idx][1],1);
			++idx;
		}
		// 要求实线l小于虚线r大于虚线l
		Ans[ind]+=trr.query(l,r);
#ifdef LOCAL
	if(ind==2){
		debug(trr.query(l,r));
		debug(l);
		debug(r);
		for(int j=1;j<=idx;++j){
			debug(lr[j][0]);
			debug(lr[j][1]);
		}
	}
#endif
	}
	FOR(i,1,Q){
		cout<<Ans[i]<<"\n";
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	// cin>>T;
	// while(T--){
		// solve();
	// }
	solve();
	return 0;
}
/*
AC
https://atcoder.jp/contests/abc405/submissions/66033424
*/
```