Completions

 

完备化的过程是熟悉的：

 

 我们可以把原来的域嵌入到完备化后的域中，我们也要考察valuation的变化：

 

 

 

 

 

 

Ostrowski Theorem告诉我们，archimedean valuation下的完备域是确定的：

 

 结论是惊人的，我们重点解析它的证明过程，证明采用反证法，证明的关键在于把问题转化为说明K上的数必然满足R上的一个二次方程：
我们首先说明实数域含于R：

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   于是我们重点考察nonarchimedan valuation，

 

 

 

以下两个定理不过是p-adic的推广：

 

 

 

  在有理函数域中关于素理想的valuation作完备化得到的是形式幂级数域：

 

 

  其次，用投影极限也可以用到一般valuation theory的理论中：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

关键的是需要记住两部分的0元素的开邻域基。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

我们把valuation诱导到代数扩张的域上面去：

 

 我们重点解析这一定理的证明：

首先不难讨论Archimedean的情况以及令扩张次数有限：