Topcoder 选做

Topcoder 部分题目选做

AmoebaCode（10801）

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题意：给定一个字符串 \(s\)，和一个整数 \(K\)，满足 \(K \le 7,K+1 \le |s| \le 50\) 字符串由字符 0-K 组成，你需要将每个 0 替换成 1-K 中的任意一个字符，使得整个字符串的权值最大，输出最大值；字符串的权值定义为，对于所有满足 \(x \neq y,s_x=s_y\) 的二元组 \((x,y)\)，\(|x-y|\) 的最小值。

分析：考虑到 \(K\) 很小，我们从大到小枚举 \(K\)，记现在枚举到的数为 \(k\)，令布尔值 \(f(i,S)\) 表示，是否存在一种方案，满足 \(s[1,...,i]\) 的权值 \(\geq k\)，且 \(s[i-k+1,...i]\) 中构成序列 \(S\)，转移显然，若 \(s_i=0\)，则枚举 \([1,K]\) 中的所有数去转移，否则直接用 \(s_i\) 转移。

时间复杂度 \(O(NK^K)\)，考虑到存在不合法状态，算法跑不满，可以通过。

ExactTree（13857）

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题意：给定 \(n,m,r\)，对于一棵树 \(T\)，定义函数 \(S(T)\) 表示 \(T\) 中每两个节点 \(x,y(x<y)\) 的距离之和，求一棵 \(n\) 个点的树 \(T_n\)，满足 \(S(T_n) \mod m = r\) 且 \(S(T_n)\) 最小，输出 \(S(T_n)\) 的最小值。

分析：定义 \(f(x,y)\) 表示，一棵 \(x\) 个节点的树 \(T_x\)，满足 \(S(T_x) \mod m = r\)，对答案贡献的最小值。转移时枚举一个 \(i(i \in [1,x))\)，令 \(j=x-i\)，再枚举 \(i,j\) 对应的函数值 \(vi,vj\)，将 \(T_i\) 和 \(T_j\) 合并，记合并后的函数值为 \(S'(T_x)\)，易得 \(S'(T_x)=vi+vj+i(n-i)\)，用这个值去更新 \(f(x,*)\) 的状态即可。

时间复杂度 \(O(n^2m^2)\)。