CF DP 题选做

CF DP 题选做

题目来源：CF 上 有“dp”tag 的 题目，且难度在 \(2300-2600\) 之间的题目。

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1430F

题意：有一把枪，弹容量 \(k\) 发，可以在一瞬间射出枪里面所有的子弹，每发子弹可以杀死 \(1\) 只怪物。每次换弹需要 \(1\) 秒，且弹夹里面的剩余子弹都会报废。有 \(n\) 波怪物，第 \(i\) 波怪物有 \(a_i\) 只，在 \(l_i\) 时刻出现，要在 \(r_i\) 时刻之前打完，保证对于任意 \([l_i,r_i]\) 均不相交，但可能相邻。求最少子弹消耗量，若无法消灭所有怪物，输出 \(-1\)，\(1 \le n \le 2000,1 \le k,a_i,l_i,r_i \le 10^9\)。

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解析：有一个很显然的方法，如果怪物来的时间比较宽松，则打完后换弹，所以可以考虑计算因换弹而浪费的最小子弹数量，设 \(f_i\) 表示第 \(i\) 波怪物所浪费的子弹的最小值。

倒着考虑，如果第 \(i\) 个区间和 \(i+1\) 区间相邻，则消耗子弹 \(cnt\) 为 \(a_i+f_{i+1}\)，否则为 \(a_i\)，此时就可以判断是否能打完这波怪物，即判断 \(k(r_i-l_i+1) \le cnt\)。然后计算 \(f_i\)，\(f_i=\max\{0,cnt-k(r_i-l_i)\}\)，减去是因为这些子弹大可不必浪费。

计算完 \(f_i\) 后，从 \(1\) 到 \(n\) 遍历一遍并维护目前弹夹里面的子弹数计算答案。

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1420E

题意：一行有 \(n\) 个守卫，每个守卫有盾牌或者没盾牌，用一个布尔值 \(a_i\) 表示，有盾牌则 \(a_i=1\)，否则 \(a_i=0\)。定理一对守卫 \(i,j(i<j)\) 被保护，当且仅当 \(a_i=a_j=0\) 且存在一个 \(x \in [i+1,j-1]\) 满足 \(a_x=1\)。你需要进行 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 次操作，每次操作选择一个有盾牌的守卫，将盾牌交给一个相邻的没有盾牌的守卫，对于每个 \(x \in [0,\frac{n(n-1)}{2}]\)，求出经过 \(\le x\) 次操作后最多有多少对守卫被保护。\(1 \le n \le 80,0 \le a_i \le 1\)。

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分析：最大化被保护的守卫 \(i,j\)，可以转化为最小化没被保护的守卫 \(i,j\)，一对守卫没被保护当且仅当中间全是 \(0\)，很显然能想到一个 dp 的思路，定义 \(f(a,b,c,d)\) 表示考虑前 \(i\) 个守卫，运用恰好 \(b\) 次操作，前 \(i\) 个守卫中有 \(c\) 个 \(0\)，\(d\) 个 \(1\)，能满足的最小没被保护的数量，发现时空复杂度均是 \(O(n^5)\)，无法接受。

发现第四维的 \(d\) 可以通过 \(a,c\) 推算出唯一的可能值，所以只需记录 \(f(a,b,c)\) 即可，空间复杂度从 \(O(n^5)\) 优化成 \(O(n^4)\)，但是转移要枚举下一个 \(1\) 的位置，转移时间复杂度为 \(O(n)\)，故时间复杂度为 \(O(n^5)\)，理论上不可通过，但有些 \(f(a,b,c)\) 不存在对应情况，且有时转移也跑不满 \(O(n)\)，所以卡过去了。