关于求排列分解为多个上升子序列的最小划分方案

做 ABC 468 F - Chmax 读错题（以为是要求最大化选择 \(2\) 个不交上升子序列总长度）+猜错结论得到（本以为下文可以解决最大化选择 \(k\) 个不交上升子序列总长度，然而随手举了个反例就炸了）

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排列指序列没有重复数字。贪心维护多个不交上升子序列及其末尾元素。对于新元素，找到末尾元素最大且小于新元素的子序列加入；若不存在则新建一个长度为 \(1\) 的子序列。时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
int n;
map<int,vector<int>>mp;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int p;cin>>p;
        auto it=mp.lower_bound(p);
        if(it==mp.begin()) mp.insert({p,vector<int>{p}});
        else{
            it--;
            vector<int> tmp=move(it->second);
            tmp.push_back(p);
            mp.insert({p,tmp});
            mp.erase(it);
        }
    }
    cout<<mp.size()<<endl;
    for(auto v:mp){
        for(int i:v.second) cout<<i<<' ';
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

感性证明

考虑两种操作：加入和新建。

当已有序列 \(S\)，\(\mathit{last_S} < e\)，元素 \(e\) 能够加入序列 \(S\) 时，若加入则划分数不变，新建则划分数增加 \(1\)。考虑之后元素 \(f\) 的加入：

• 如果 \(f > e\)，则 \(f\) 能够直接加入到 \(e\) 之后而不改变划分数，加入 \(e\) 优于新建；
• 如果 \(\mathit{last_S} < f < e\)，则 \(f\) 不能加入到 \(e\) 之后。这时 \(e\) 加入 \(S\)，新建 \(f\) 和 \(f\) 加入 \(S\)，新建 \(e\) 对划分数贡献一样。
• 如果 \(f< \mathit{last_S} < e\)，则 \(f\) 必须新建。加入 \(e\) 优于新建。
  序列更多时类似，所以元素 \(e\) 能够加入序列 \(S\) 时选择加入一定不劣于最优方案。

再考虑已有两个序列 \(S_1, S_2\) 的情况，同样考虑 \(f\) 的加入：

• 若 \(\mathit{last_{S_1}} < f < \mathit{last_{S_2}} < e\)，则当选择 \(S_1 \leftarrow S_1 \cup \{e\}\) 时，\(f\) 必须新建，导致划分数增加 \(1\)；
• 反之选择 \(S_2 \leftarrow S_2 \cup \{e\}\)，则可以使划分数不变。其他情况选择 \(S_2 \leftarrow S_2 \cup \{e\}\) 也都不劣。
  序列更多时类似，所以元素 \(e\) 能够加入末尾元素最大的序列 \(S\) 时选择加入一定不劣于最优方案。

若元素 \(e\) 无法加入任何序列，类似前文的讨论，选择新建序列一定不劣于改变之前的划分。于是可以证明贪心策略是最优解。

貌似朝前考虑会更好，但先这样吧。