[NOIP 2017 提高组] 小凯的疑惑 相关

看了两篇题解 Mzwuzad大佬 infinityedge大佬，对题解1有些困惑，把自己的理解写一下。

首先设正整数 \(a, b\) 互质，那么对 \(ax + by = 0\)，有通解

\[\begin{cases} x = bk \\ y = -ak \end{cases} \]

就叫作结论一吧。

设 \(z = ax + by\) 为题目所求，其中 \(a, b\) 均为正整数且彼此互素。
由结论一和二元一次不定方程特解求通解的方法，
可以得到 \(z = a(x - bk) + b(y + ak)\) 这一通解。
这样通过减减加加，我们就可以把原式调整为 \(z =ax' + by'\)，其中 \(0 \le x‘ \le b - 1\) 这一形式。

现在 \(x'\) 是合法的，所以如果满足题目所说的解为非法，那么 \(y' < 0\)。
由 \(x', y'\) 的上界，显然

\[\begin{cases} x' = b - 1 \\ y' = -1 \end{cases} \]

时 \(z\) 取最大值。

代入得 \(z = ab - a - b\)。

简要说明对于这样得到的 \(z\) 不存在其他 \(a, b\) 合法解：

假设 \(z =ax'' + by''\)，其中 \(x'',y'' \ge 0, \ x'' \neq x', \ y'' \neq y'\) 。
\(z = ax + by\) 和 \(z =ax'' + by''\) 两式相减，
得到 \(a(x' - x'') + b(y' - y'') = 0\)。
我们发现这个式子长得跟结论一一模一样啊，
所以 \(b \mid x' - x'', \ a \mid y' - y''\)。
若 \(x'' \le x'\)，由 \(x', x''\) 上下界得到 \(0 < x‘ - x'' \le b - 1\)，
与 \(b \mid x' - x''\) 矛盾。
若 \(x'' > x'\)，设正整数 \(k\)。
由 \(b \mid x' - x''\) 得 \(x'' - x' = bk\)。
因而 \(y'' = y' - ak < y' < 0\)，也矛盾。

---

反证 \(ab - a - b \neq ax + by, \ x,y \ge 0\)：

假设存在这样的解使其相等。
移项得 \(a(b - 1 - x) = b(y + 1)\)。
比较两边正负得 \(b - 1 - x > 0\)。
\(x \ge 0\)，故 \(0 < b - 1 - x < b\)。
又由 \(gcd(a , b) = 1\)，
得 \(b \mid b - 1 - x\)。
设整数 \(k\)，进而 \(b - 1 - x = bk\)，与 \(0 < b - 1 - x < b\) 矛盾。故不存在这样的解。

以及还有一种抽象反证，源于我眼瞎没比较两边正负的临时补救：

前面相同直到移项。
通过不定方程求通解方法，必然可以调整得到一组解满足 \(0 \le x' \le b - 1\)。
\(x\) 到 \(x'\) 不增，则 \(y\) 到 \(y'\) 不减，\(y'\) 不失非负性。
若 \(x', y'\) 不存在则 \(x, y\) 也不存在，于是问题转化为反证 \(x', y'\) 不存在。
由 \(0 \le x' \le b - 1\) 得到 \(0 < b - 1 - x' < b\)，之后同上。

---

前面都是围绕题解1的简单式子讲的，题解2为啥式子不一样呢？

（并不）激动人心的抽象原创环节到了，下面来证明题解2的答案等于题解1：

题解2证得 \(z = a(x' - 1) + b(y'' - 1) - 1\)，其中 \(x'\) 为 \(ax + by = 1\) 中 \(x\) 最小非负整数解，\(y''\) 为 \(y\) 最小非负整数解。则

\[\begin{aligned} z &= a(x' - 1) + b(y'' - 1) - 1 \\ &= ax' + by'' - 1 - a - b \\ &= ax' + by'' - (ax'' + by'') - a - b \\ &= a(x' - x'') - a - b \end{aligned} \]

\(y'' = 0, \ a = 1\) 和 \(x' = 0, \ b = 1\) 的情况懒得打字了，不多赘述。

排除上面两种情况后，现 \(0 < x' \le b - 1, \ 0 < y'' < a, \ x'' = (1 - by'') / a\)。
得 \(1 / a - b < x'' < 1 / a\)。
故 \(- b < x'' \le 0\)。
进而 \(0 < x' - x'' < b - 1 - (- b) = 2b - 1\)。
又因 \(b \mid x' - x''\)，
则 \(x' - x'' = b\)。

代入得 \(z = ab - a - b\)。