算法第三章作业

实践报告
一、题目
一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？
注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。
输入格式:
第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；
后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。
输出格式:
至少需要的费用。
二、分析
1.1 最优子结构、递归方程、边界条件
状态定义
设 dp[i][j] 表示：从起点 (1,1)走到方格(i,j)的最小总通行费用（包含格子(i,j)本身的费用）。
最优子结构说明
到达(i,j)的合法路径，只能来自两个位置：上方(i-1,j)或者左方(i,j-1)。 如果走到 (i,j)的最优路径是从(i-1,j)过来，那么从(1,1)to(i-1,j)这一段本身一定也是最优的；同理从左边过来时，(1,1)to(i,j-1)也是最优。满足动态规划最优子结构性质。
递归方程
dp[i][j] = a[i][j] + min（dp[i-1][j], dp[i][j-1])
边界条件
1.起点：dp[1][1] = a[1][1]（起点只有自己的费用）
2.第一行(i=1,j>1）：上面没有格子，只能从左边走来
dp[1][j] = dp[1][j-1] + a[1][j]3. 第一列(j=1,i>1)：左边没有格子，只能从上面走来
dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i][1]
说明：下标这里采用从 1 开始，方便处理边界，避免判断越界。
1.2 填表法：表维度、填表范围、填表顺序、最优值位置
1.表的维度：二维数组dp[N+1][N+1]（下标从 1 到 N，大小 (N+1)(N+1))
2.填表范围：
先填边界：第 1 行、第 1 列
再填主体：i 从 2~ N，j 从 2~N
3.填表顺序：从上到下，从左到右（逐行遍历；填 dp[i][j] 的时候，它需要的 dp[i-1][j]（上一行，已填好）、dp[i][j-1]（本行左边，已经填好）都已经计算完成）
4.原问题最优值：dp[N][N]，就是从左上角走到右下角的最小通行费。
1.3 时间复杂度与空间复杂度
时间复杂度：O(N^2) 一共 NN 个状态，每个状态只做一次 min 加法，常数时间。N<100，计算量很小。
空间复杂度：O(N^2)需要二维 dp 数组保存所有子问题的最优解；可以直接在原费用数组上原地更新，不额外开 dp 数组，空间仍为 O(N^2)；也可以滚动数组优化到 O(N)，但本题 N 很小一般不要求。
三、对动态规划算法的理解和分析
1.动态规划不是简单的贪心：贪心是局部最优直接推全局最优；动态规划需要枚举所有可行子问题的最优结果，再做选择，依赖子问题的解。本题中每一格取上方、左边的最小值，就是在两个子问题最优解里选更优的。
2.两个必要条件：最优子结构 + 子问题重叠。 最优子结构保证：全局最优一定由子问题最优组合而来；子问题重叠保证我们值得用一张表保存结果，而不是反复递归重算。
3.设计 DP 的固定流程： （1）定义状态（最难一步，要清晰表达子问题含义）（2）推导状态转移方程（写出递归式） （3）确定边界、初始条件（4）确定填表顺序，保证依赖先被算出 （5）找到目标状态，输出答案
4.体会：写 DP 的时候状态定义一定要严谨，比如本题 dp [i][j] 是否包含当前格子费用，一旦定义错，整个转移方程和答案都会出错；填表顺序也很关键，如果顺序乱了，需要的子问题还没算出来，结果就是错的。