[2018.3.26集训]yja-伪模拟退火

题目大意

在平面上找 n 个点, 要求这 n 个点离原点的距离分别为 $r_1,r_2, \cdots r_rn$. 最大化这 n 个点构成的凸包面积, 凸包上的点的顺序任意。
注意点不一定全都要在凸包上。

$n \leq 8,r_i \leq 1000$

题解

正解是拉格朗日乘数法。
然而作为一只蒟蒻，当然是不会这种巧妙的操作的。

那就乱搞吧!
考虑使用模拟退火算法。

初始给每个节点随机一个相对于原点的角度，并计算它们构成的凸包面积。
设定初始温度为$\pi$（角度为弧度制），并进行退火。
每次从所有点中随机选择一个点，对其角度加上或减去温度乘上一个在$(0,1)$范围内随机的实数，计算此时的答案。
若更优，则应用这次修改，否则不作出修改。

随机$10$次左右即可稳定得到最优解~
说这是伪模拟退火的原因是，模拟退火事实上还会根据温度一定概率接受一次错误的修改，而实测这样的效果并不是特别优。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef double db;
typedef pair<db,db> pr;
const int N=19;
const db eps=1e-8;
const db pi=acos(-1);
const db mint=1e-7;
#define x first
#define y second

int n,stk[N],rr[N];
db r[N];
db ang[N],ans=0.0;
pr p[N];

inline bool cmp(pr a,pr b)
{
	if(abs(a.x-b.x)<eps)
		return a.y<b.y;
	return a.x<b.x;
}

pr operator - (pr a,pr b)
{
	return pr(a.x-b.x,a.y-b.y);
}

inline bool cmp2(pr a,pr b)
{
	return atan2(a.y-p[1].y,a.x-p[1].x)<atan2(b.y-p[1].y,b.x-p[1].x);
}

inline db randf()
{
	return (db)rand()/(db)RAND_MAX;
}

inline db cross(pr a,pr b)
{
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

inline db hull()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		p[i]=pr(cos(ang[i])*r[i],sin(ang[i])*r[i]);
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	sort(p+2,p+n+1,cmp2);

	int top;
	stk[top=1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		while(top>=2 && cross(p[i]-p[stk[top-1]],p[stk[top]]-p[stk[top-1]])>eps)
			top--;
		stk[++top]=i;
	}


	db ret=0;
	for(int i=1;i<top;i++)
		ret+=cross(p[stk[i]],p[stk[i+1]]);
	ret+=cross(p[stk[top]],p[stk[1]]);
	return fabs(ret/2.0);
}

inline void work()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ang[i]=randf()*pi*2.0;

	db t=pi,cans=hull();
	while(t>mint)
	{
		//for(int i=1;i<=1;i++)
		{
			int choose=rand()%n+1;
			db inc=t*(randf()-0.5);
			ang[choose]+=inc;
			db tans=hull();
			if(tans>cans)cans=tans;
			else ang[choose]-=inc;
		}
		t*=0.994;
	}

	ans=max(ans,cans);
}

inline int spj()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ang[i]=((db)(i-1)/(db)n)*pi*2.0;
	printf("%.6f\n",hull());
	return 0;
}

int main()
{
	freopen("yja.in","r",stdin);
	freopen("yja.out","w",stdout);

	srand(time(0));
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&rr[i]);
		r[i]=(db)rr[i];
	}

	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(r[i]!=r[i-1])
			goto hell;
	return spj();

	hell:;
	int T=200;
	while(T--)
		work();
	printf("%.8f\n",ans);
	return 0;
}