算法训练 最短路

  算法训练 最短路  

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问题描述

给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。

输入格式

第一行两个整数n, m。

接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。

输出格式

共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。

样例输入

3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2

样例输出

-1
-2

数据规模与约定

对于10%的数据，n = 2，m = 2。

对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。

对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。

 

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）（队列优化）算法是求单源最短路径的一种算法，它还有一个重要的功能是判负环（在差分约束系统中会得以体现），在Bellman-ford算法的基础上加上一个队列优化，减少了冗余的松弛操作，是一种高效的最短路算法。

 

算法大致思路：

　　s表示源点

　　利用dist[x]表示从源点s到x的最短距离

　　用Q队列来保存需要处理的结点

　　用inQueue[x]保存点x是否在队列中

　　初始化：dist[]数组全部赋值为无穷大，比如INT_MAX（一定要足够大， 我一开始就是给小了所以有些数据错了）

　　dist[s] = 0

开始算法：队列+松弛操作

　　读取Q队首元素并出队（记得把inQueue[Q.top()]置为false）

　　对与队首结点相连的所有点v进行松弛操作（如果源点通过队首结点再到结点v的距离比源点直接到v的距离要短，就更新dist[v]，并且如果inQueue[v] == false 即V当前不在队列中，则v入队,当队列Q为空时，判断结束）

 

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 200005
#define NN 20005
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
queue<int> q;
struct Edge{
    int to;
    int next;
    int val;
}Edge[N];
int M;
int dist[NN];
int vis[NN];
int head[NN];
void add(int from,int to,int val){
    Edge[M].to = to;
    Edge[M].next = head[from];
    Edge[M].val = val;
    head[from] = M++;
}

void SPFA(int s){
    dist[s] = 0;
    q.push(s);
    vis[s] = 1;
    while(!q.empty()){
        int temp = q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[temp];i!=-1;i=Edge[i].next){
            int node = Edge[i].to;
            if(dist[node]>dist[temp]+Edge[i].val){
                dist[node] = dist[temp]+Edge[i].val;
                if(!vis[node]){
                    q.push(node);
                    vis[node] = 1;
                }
            }
        }
        vis[temp] = 0;
    }
}

int n,m;
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    mem(head,-1);
    mem(vis,0);
    mem(dist,inf);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int to,from,val;
        cin>>from>>to>>val;
        add(from,to,val);
    }
    SPFA(1);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        cout<<dist[i]<<endl;
    }
    return 0;
}