P3182 [HAOI2016] 放棋子

思路

这道题本质上是一道裸的错排问题。

首先分析一下题目，保证任意两个障碍不在同一行或同一列，那实际上障碍的具体位置就没有任何作用，我们总是可以通过交换行的位置，使第 \(i\) 行的障碍在第 \(i\) 列。

那就转化成了求 \(1\sim n\) 的一个排列，使 \(a_i\ne i\)。

令 \(f(n)\) 表示总方案数，\(a_n=x\) 时，考虑分类讨论：

• \(a_x=n\) 时，显然转换成了剩下 \(n-2\) 个元素的错排。
• \(a_x\ne n\) 时，则对这 \(n-1\) 个元素有 \(f(n-1)\) 种方法。

又因 \(x\) 有 \(n-1\) 种可能，可以得到式子: \(f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))\)。

然后 c++ 党写高精度就可以了。

代码

python大法好

n=int(input())
ans=[0,0,1]
for i in range(3,n+1):
	ans.append((i-1)*(ans[i-1]+ans[i-2]))
print(ans[n])