05 2021 档案
摘要：\(\text{Problem}:\)【UER #4】被删除的黑白树 \(\text{Solution}:\) 等价于白点数量最少。 假设初始所有点都是黑色的，现在要选择一些点使其变为白色，可以贪心考虑： 原树深度最小的叶子结点到根路径上的点全是黑色。 使得深度更小的结点变为白色。 对于第一点，若不
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摘要：\(\text{Problem}:\)毒瘤之神的考验 \(\text{Solution}:\) 首先大力推导式子： \[ \begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\varphi(ij)\\ &=\sum\limits_{i
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摘要：\(\text{Problem}:\)[NOI Online #2 提高组] 游戏 \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{k}\) 表示恰好非平局回合数为 \(k\) 的方案数，\(g_{k}\) 表示钦定非平局回合数为 \(k\) 的方案数，有： \[ g_{k}=h_{k}(m
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摘要：\(\text{Problem}:\)[八省联考2018] 林克卡特树 \(\text{Solution}:\) 考虑割 \(K\) 条边等价于将原树分为 \(K+1\) 个连通块，答案为 \(K+1\) 个连通块的最长链之和。那么题目转化为从原树上选出 \(K+1\) 条不相交的链，使得权值和最大
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摘要：\(\text{Problem}:\)[NOI2020] 制作菜品 \(\text{Solution}:\) 关键性质 \(1\)：当 \(m\geq n-1\) 时，一定有解。 关键性质 \(2\)：当 \(m=n-2\) 时若有解，当且仅当能分出两组 \(m=n-1\) 的不相交集合。 构造一种
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摘要：\(\text{Problem}:\)[NOI2020] 命运 \(\text{Solution}:\) 关键性质：若满足限制 \((u,v_{1})\)，有 \(dep_{v2}<dep_{v1}\) 且 \(v_{2}\) 是 \(v_{1}\) 的祖先，那么满足限制 \((u,v_{2})\)
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摘要：\(\text{Problem}:\)Maximum Element \(\text{Solution}:\) 即求出现 \(n\) 之前还没有返回的方案数。 设 \(f_{i}\) 表示选了前 \(i\) 个位置，还没有返回的方案数，有转移： \[ \begin{aligned} f_{i}&=\
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摘要：\(\text{Problem}:\)无标号无根树计数 \(\text{Solution}:\) 引入 \(\text{Euler}\) 变换：将 \(\text{exp}\) 中的有标号元素替换为无标号元素。 考虑 \(\exp\) 的组合意义：将 \(n\) 个有标号的数分为若干非空组。设 \(
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摘要：\(\text{Problem}:\)付公主的背包 \(\text{Solution}:\) 考虑一个物品的生成函数 \(f_{i}(x)\) 为： \[ f_{i}(x)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}x^{v_{i}\cdot j}=\cfrac{1}{1-x^{v_{i}
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摘要：\(\text{Problem}:\)[HNOI2011] 卡农 \(\text{Solution}:\) 对于排列组合问题，将无序转化为有序常常更易求解。对于本题，我们求出有序的答案，除以 \(m!\) 即可得到无序的答案。 设 \(f_{i}\) 表示选了前 \(i\) 个片段的方案数。由于每个
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摘要：\(\text{Problem}:\)[TJOI2019] 唱、跳、rap和篮球 \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{k}\) 表示恰好有 \(k\) 组满足条件，\(g_{k}\) 表示钦定有 \(k\) 组满足条件。考虑枚举最喜欢唱的同学的位置 \(i\)，相当于把 \(i,
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摘要：\(\text{Problem}:\)无聊的水题 I \(\text{Solution}:\) 首先改变限制条件，只需求出最大度数小于等于 \(m\) 的答案减去最大度数小于等于 \(m-1\) 的答案即可（下文默认最大度数小于等于 \(m\)）。 发现要求的是无根树，且限制和度数有关，不难想到 \
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摘要：\(\text{Problem}:\)无聊的水题 II \(\text{Solution}:\) 即求有多少种方案使得选中的数的 \(\gcd\) 等于 \(1\)。 设 \(f(x)\) 表示选中的数的 \(\gcd\) 等于 \(x\) 的方案数，\(g(x)\) 表示选中的数的 \(\gcd\
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摘要：\(\text{Problem}:\)[CTS2019] 随机立方体 \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{k}\) 表示恰好有 \(k\) 个极大数的方案数，\(g_{k}\) 表示钦定有 \(k\) 个极大数的方案数，由二项式反演，有： \[ f_{k}=\sum\limits
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摘要：\(\text{Problem}:\)DIVCNT2 - Counting Divisors (square) \(\text{Solution}:\) 事实上给出的 \(\sum\limits_{i=1}^{n}d(i^{2})\) 有很多等价表达式，如以下： \[ \sum\limits_{i=
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUWC2018] Minimax \(\text{Solution}:\) 首先对权值进行离散化。设 \(f_{i,j}\) 表示结点 \(i\) 的权值离散化后为 \(j\) 的概率。令 \(x,y\) 分别表示 \(i\) 的左右儿子，由于叶子结点权值
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUWC2018] 随机算法 \(\text{Solution}:\) 发现 \(n\) 很小，可以考虑状压 \(dp\)。设 \(f_{S}\) 表示得到集合 \(S\) 最大独立集的概率，\(g_{S}\) 表示集合 \(S\) 最大独立集的大小。 首先
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUWC2018] Slay the Spire \(\text{Solution}:\) 最优方案显然为：从大往小取强化牌，直到已经打出 \(k-1\) 张牌或强化牌没有了为止，然后从大往小取攻击牌。证明：将一张强化牌换为攻击牌后，因为这张攻击牌不是严格最
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUWC2018] 猎人杀 \(\text{Solution}:\) 将操作方式改为：每次都由你（即 \(n\) 个猎人外的人）随机选择一个猎人开枪，如果选择的猎人死亡就重复以上过程，否则结束。不难发现，这种操作方式与题目给出的方式是等价的（即每次操作中，活
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摘要：\(\text{Problem}:\)Unhappy Hacking \(\text{Solution}:\) 显然，打出长度为 \(m\) 的 \(2^{m}\) 种不同 \(01\) 串的方案数是一样的（感性证明，退格对答案的影响是等价的，而 \(0\) 和 \(1\) 可以互相替换）。故求出所
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摘要：\(\text{Problem}:\)[CTS2019] 珍珠 \(\text{Solution}:\) 设 \(c_{i}\) 表示数 \(i\) 被取到的次数，\(d\) 表示 \(c_{i}\) 为奇数的 \(i\) 的个数。对于一种方案，其合法的充要条件为 \(\sum\limits_{i=
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摘要：\(\text{Problem}:\)[SDOI2017] 硬币游戏 \(\text{Solution}:\) 如果 \(n=1\) 并且求期望时间就是 [CTSC2006] 歌唱王国，而本题做法也是类似的。 设 \(f_{i,j}\) 表示随机了 \(j\) 次出现了序列 \(s_{i}\) 的概
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摘要：\(\text{Problem}:\)玩游戏 \(\text{Solution}:\) 要对 \(\forall k\in[1,t]\)，求出： \[ f_{k}=\frac{1}{nm}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}(a_{i}+b_{j})^
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUSC2018] 神仙的游戏 \(\text{Solution}:\) \(\text{border}\) 的性质：若字符串 \(s\) 有一个长度为 \(len\) 的 \(\text{border}\)，那么 \(n-len\) 为字符串 \(s\)
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUSC2018] 真实排名 \(\text{Solution}:\) 模拟赛里出过这题。 首先对 \(a_{i}\) 排序。考虑对每个 \(i\) 分类讨论： 不选取 \(i\)，那么找出一段被选取了会改变 \(i\) 的排名的区间，使得这段区间不能选。
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUSC2018] 最大前缀和 \(\text{Solution}:\) 不难发现，任意一个序列都可以表示为两个有着不同特殊性质序列的拼接，记为 \(A+B\)（\(A\) 和 \(B\) 可以为空），有： 序列 \(A\) 的性质：最大前缀和等于总和。 序
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摘要：\(\text{Problem}:\)[THUSC2016] 成绩单 \(\text{Solution}:\) 对于此类抽取一段区间计算贡献后将两端合并的问题，考虑设计区间 \(dp\)。设 \(f_{l,r}\) 表示区间 \([l,r]\) 的最小代价，\(g_{l,r,p,q}\) 表示区间
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摘要：\(\text{Problem}:\)[THUSC2015] 异或运算 \(\text{Solution}:\) 发现 \(m\) 远大于 \(n\)，故考虑对 \(y\) 这一维建出可持久化 \(\text{Trie}\) 树，查询时用 \(x\) 这一维在差分后的 \(\text{Trie}\)
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摘要：\(\text{Problem}:\)[CTSC2006] 歌唱王国 \(\text{Solution}:\) 引入概率生成函数 \(\text{PGF}\)，其 \(i\) 次项的系数是随机变量 \(X\) 等于 \(i\) 的概率，有： \[ F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\i
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摘要：\(\text{Problem}:\)Substrings in a String \(\text{Solution}:\) 考虑分块，对每个块建出后缀自动机。 修改：暴力重建 \(i\) 所在块的 \(\text{SAM}\)。 查询：分类讨论处理。 若 \(\lvert s\rvert> B\)
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摘要：\(\text{Problem}:\)拉格朗日插值2 \(\text{Solution}:\) 前置知识：\(O(n^2)\) 拉格朗日插值。 要对 \(k\in[0,n]\) 求出： \[ f(m+k)=\sum\limits_{i=0}^{n}f(n)\prod\limits_{j\not=i}
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摘要：\(\text{Problem}:\)The Sum of the k-th Powers \(\text{Solution}:\) 要求的即自然数幂之和 \(S_{k}(n)\)。将 \(i^{k}\) 用第二类斯特林数展开，有： \[ S_{k}(n)=\sum\limits_{j=1}^{k}
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摘要：\(\text{Problem}:\)Cowmpany Cowmpensation \(\text{Solution}:\) 不难发现，虽然权值种类很多，但在一种分配方案中，不同的权值个数只有 \(O(n)\) 个。故设 \(f_{i}\) 表示分配了 \(i\) 种权值的方案数，答案为： \[ \
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