04 2021 档案
摘要：\(\text{Problem}:\)T-Shirts \(\text{Solution}:\) 在序列操作的问题中，一种常规的思想是使得被操作物品的信息尽可能少。故转化题目为：将物品以 \(q_{i}\) 从大到小为第一关键字，\(c_{i}\) 从小到大为第二关键字排序。枚举物品 \(i\)，对
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摘要：\(\text{Problem}:\)Hitchhiking in the Baltic States \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{i}\) 表示长度为 \(i\) 的严格上升子序列中第 \(i\) 个数的最小值，有转移： \(f_{j-1}< l_{i}\)，\(f_{
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摘要：\(\text{Problem}:\)Surprise me! \(\text{Solution}:\) 发现 \(\varphi\) 内有两数相乘，将其展开，有： \[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{\varphi(a_{i})\v
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摘要：\(\text{Problem}:\)Binary Table \(\text{Solution}:\) 考虑枚举翻转的行的集合 \(S\)。设 \(cnt_{i}\) 表示数 \(i\) 和 \((2^{n}-1)\oplus i\) 对应二进制位中 \(1\) 的个数的较小值，\(f_{i}\)
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摘要：\(\text{Problem}:\)[HAOI2015]按位或 \(\text{Solution}:\) 设二进制上第 \(i\) 位变为 \(1\) 的期望时间为 \(t_{i}\)，\(\max(S)\) 表示集合 \(S\) 中最大的 \(t_{i}\)，\(\min(S)\) 表示集合 \
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摘要：\(\text{Problem}:\)CF1278F Cards 加强版 \(\text{Solution}:\) 设 \(p=\frac{1}{m}\)，要求的是： \[ \sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}i^{k} \] 将 \(i
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摘要：\(\text{Problem}:\)[ZJOI2015] 幻想乡战略游戏 \(\text{Solution}:\) 设当前补给站 \(u\) 为根，\(siz_{u}\) 表示 \(u\) 子树内点权之和。考虑从 \(u\rightarrow v\in son_{u}\)，花费的增量为 \(val
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摘要：\(\text{Problem}:\)Drazil and Park \(\text{Solution}:\) 先破环为链，根据给出的限制 \(a,b\) 确定查询区间 \([l,r]\)。 考虑处理出 \(d\) 的前缀和，则现在两个点的答案为 \(d_{y}-d_{x}+2(h_{x}+h_{y
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摘要：\(\text{Problem}:\)Crime Management \(\text{Solution}:\) 设 \(m_{i}\) 表示第 \(i\) 个字符限制的乘积。设 \(f_{i,a,b,...,z}\) 表示枚举到字符串第 \(i\) 位，每个字符 \(i\) 出现次数模 \(m_{
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摘要：\(\text{Problem}:\)Different Subsets For All Tuples \(\text{Solution}:\) 考虑一个长度为 \(k\) 的子序列，下标为 \(p_{1},p_{2},...,p_{k}\)。设 \(p_{0}=0\)，对于相同子序列中字典序最小的
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摘要：\(\text{Problem}:\)Sky Full of Stars \(\text{Solution}:\) 答案即总方案数减去没有一行或一列是同种颜色的方案数。 设 \(f_{i,j}\) 表示恰好有 \(i\) 行 \(j\) 列是同种颜色的方案数，\(g_{i,j}\) 表示钦定有 \(
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摘要：\(\text{Problem}:\)Game Relics \(\text{Solution}:\) 显然最优策略是先抽奖，然后直接购买。这里巧妙地转化题意，使得每次操作可以做以下决策： 随机从剩下的物品中选择一种，直接购买。 抽奖，直到获得一种当前还没有的物品。 根据我们的最优策略分析，上述的最
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摘要：\(\text{Problem}:\)PolandBall and Many Other Balls \(\text{Preface}:\) 这是一道有着多种不同做法的经典好题。由于笔者水平有限，仅在下文介绍三种主流做法。 \(\text{Solution 1}:\) 组合容斥 设 \(f_{k}\
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摘要：\(\text{Problem}:\)Tiles \(\text{Solution}:\) 用每一组的第 \(1\) 列（例如，第一组为第 \(1\) 列，第二组为第 \(1+a_{1}+b_{1}\) 列，第 \(n+1\) 组为最后一列）代表这一组，故下文的第 \(i\) 组，若无特殊说明，默认
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摘要：\(\text{Problem}:\)[MtOI2018]情侣？给我烧了！（加强版） \(\text{Solution}:\) 前置内容：[MtOI2018] 情侣？给我烧了！ 现在考虑继续推导 \(f\)，有： \[ \begin{aligned} f_{k}&=\frac{n!n!\cdot 2
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摘要：\(\text{Problem}:\)[MtOI2018]情侣？给我烧了！ \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{k}\) 表示恰好有 \(k\) 对情侣是和睦的方案数，\(g_{k}\) 表示钦定有 \(k\) 对情侣是和睦的方案数。考虑 \(g_{k}\) 的组合意义，在 \(
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摘要：\(\text{Problem}:\)Positions in Permutations \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{i}\) 表示完美数恰好为 \(i\) 的排列数，\(g_{i}\) 表示钦定完美数为 \(i\) 的排列数，由二项式反演，有： \[ f_{i}=\su
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摘要：\(\text{Problem}:\)有标号 DAG 计数 \(\text{Solution}:\) 设 \(F(x)\) 表示有标号 DAG 的 \(\text{EGF}\)，\(G(x)\) 表示弱连通的有标号 DAG 的 \(\text{EGF}\)，有： \[ F(x)=\sum\limit
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摘要：\(\text{Problem}:\)[HEOI2016/TJOI2016]求和 \(\text{Solution}:\) 引理 \(1\)： \[ {n\brace m}=\sum\limits_{i=0}^{m}\cfrac{(-1)^{m-i}i^{n}}{i!(m-i)!} \] 可以用二项
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摘要：\(\text{Problem}:\)集合划分计数 \(\text{Solution}:\) 即求第 \(n\) 个贝尔数 \(B_{n}\)。 考虑一个非空子集的 \(\text{EGF}\) 为 \(F(x)\)，有： \[ F(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\cfr
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摘要：\(\text{Problem}:\)十二重计数法 \(\text{Solution}:\) 第一重（球之间互不相同，盒子之间互不相同）： 对于每个球都有 \(m\) 个盒子放，即 \(m^{n}\)。 第二重（球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球）： 当 \(n>m\) 时为 \
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摘要：\(\text{Problem}:\)有标号二分图计数 \(\text{Solution}:\) 首先考虑有标号二分染色图的个数。设 \(A_{n}\) 表示 \(n\) 个点的有标号二分染色图个数，选择 \(k\) 个白点和 \(n-k\) 个黑点之间任意连边，故有： \[ \begin{alig
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摘要：\(\text{Problem}:\)Partitions \(\text{Solution}:\) 考虑每个 \(w_{i}\) 对答案的贡献，先从 \(n-1\) 个数中选出 \(j-1\) 个与 \(i\) 在同一集合中，剩下 \(n-j\) 个数分为 \(k-1\) 个集合，故有： \[ \
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摘要：\(\text{Problem}:\)[国家集训队] Crash 的文明世界 \(\text{Solution}:\) 先将 \(x^{k}\) 用第二类斯特林数的形式展开，得到： \[ \begin{aligned} \sum\limits_{j=1}^{n}dist(i,j)^{k}&=\sum
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摘要：\(\text{Problem}:\)[HAOI2018] 染色 \(\text{Solution}:\) 下文令 \(up=\min\{m,\left\lfloor \dfrac{n}{S} \right\rfloor\}\)。设 \(F_{i}\) 表示恰好出现 \(S\) 次的颜色有 \(i\
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摘要：\(\text{Problem}:\)多项式反三角函数 \(\text{Solution}:\) \[ \begin{aligned} (\arcsin A(x))'&=\cfrac{A'(x)}{\sqrt{1-A^{2}(x)}}\\ \arcsin A(x)&=\int\cfrac{A'(x)
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摘要：\(\text{Problem}:\)多项式三角函数 \(\text{Solution}:\) 引理 \(1\)（欧拉公式）： \[ e^{ix}=\cos x+i\sin x \] 将 \(x\) 用 \(-x\) 代入，解方程后得到三角函数的另一个表达式： \[ \begin{aligned}
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摘要：\(\text{Problem}:\)【模板】多项式除法 \(\text{Solution}:\) 将 \(\dfrac{1}{x}\) 代入，有： \[ F(\frac{1}{x})=Q(\frac{1}{x})*G(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x}) \] 记 \(F_{R}
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摘要：\(\text{Problem}:\)【模板】多项式开根 \(\text{Solution}:\) 给定多项式 \(A(x)\)，求 \(B(x)\)，满足： \[ B^{2}(x)\equiv A(x)\pmod {x^{n}} \] 考虑倍增求解。设 \(B_{0}(x)\) 表示模 \(\le
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摘要：\(\text{Problem}:\)【模板】二次剩余 \(\text{Solution}:\) 本文介绍 \(\text{Cipolla}\) 算法，下面默认模数 \(p\) 为奇质数。 定义： 非零数 \(n\) 是模 \(p\) 的二次剩余，当且仅当模 \(p\) 意义下方程 \(x^{2}\
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摘要：\(\text{Problem}:\)Gachapon \(\text{Solution}:\) 设 \(t_{i}\) 表示 \(i\) 出现了至少 \(B_{i}\) 次的期望时间，答案即为 \(\max(S)\)。考虑 \(\min-\max\) 容斥： \[ \max(S)=\sum\lim
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摘要：\(\text{Problem}:\)Bandit Blues \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数有 \(j\) 个前缀最大值的排列数。考虑每次加入一个最小数（即 \(1\)），有： \[ f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+(i-1)
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摘要：\(\text{Problem}:\)第一类斯特林数·列 \(\text{Solution}:\) 与计算第二类斯特林数一列的方法类似的，设 \(F(x)\) 表示第 \(1\) 列第一类斯特林数的 \(\text{EGF}\)，有： \[ F(x)=\sum\limits_{i=1}^{\inft
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摘要：\(\text{Problem}:\)【模板】多项式对数函数（多项式 ln） \(\text{Solution}:\) 引理 \(1\)： 在模意义下当且仅当 \([x^{0}]f(x)=1\) 时，\(f(x)\) 有对数多项式。 设 \(C(x)=\ln(x)\)，有： \[ B(x)\equi
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摘要：\(\text{Problem}:\)第一类斯特林数·行 \(\text{Solution}:\) 设第 \(n\) 行第一类斯特林数的 \(\text{OGF}\) 为 \(F_{n}(x)\)，有： \[ \begin{aligned} F_{n}(x)&=\sum\limits_{i=0}^{
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摘要：\(\text{Problem}:\)第二类斯特林数·列 \(\text{Solution}:\) 首先推导一下多项式求逆： 设多项式 \(A\) 模 \(x^{n}\) 逆元为 \(B\)，模 \(x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil}\) 逆元为 \(B'\)，有： \[ A\
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摘要：\(\text{Problem}:\)第二类斯特林数·行 \(\text{Solution}:\) 引理 \(1\)： \[ x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{x}{i}{n\brace i}i! \] 把上界 \(n\) 改为 \(x\) 就可以二项式反演了。设
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摘要：\(\text{Problem}:\)[省选联考 2020 A 卷] 组合数问题 \(\text{Solution}:\) 前言：[清华集训2016] 如何优雅地求和 的弱化版。 由二项式定理，有 \(\sum\limits_{k=0}^{n}x^{k}\binom{n}{k}=(x+1)^{n}\
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摘要：\(\text{Problem}:\)[CEOI2004] Sweets \(\text{Solution}:\) 要求的是： \[ \sum\limits_{A\leq \sum w_{i}\leq B}\prod\limits_{i=1}^{n}[w_{i}\leq m_{i}] \] 考虑 \
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摘要：\(\text{Problem}:\)Lust \(\text{Solution}:\) 设当前第 \(i\) 个数被减了 \(b_{i}\) 次，对答案的贡献为： \[ \prod\limits_{i=1}^{n}a_{i}-\prod\limits_{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})
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摘要：\(\text{Problem}:\)随机数生成器 \(\text{Solution}:\) 设答案为 \(W\)，则要求的是 \(E(W)=\sum\limits_{i=1}^{x}P(W\geq i)\)。 这题要求的是所有最小值的最大值，可以改变一下，设所有区间都满足 \(\min_{l,r}
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摘要：\(\text{Problem}:\)[PKUWC2018]随机游走 \(\text{Solution}:\) 设 \(t_{i}\) 表示点 \(i\) 第一次被经过的时间，则要求的显然是 \(E(\max\limits_{i\in S}t_{i})\)。\(\max\) 难求，可以考虑 \(\m
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摘要：\(\text{Problem}:\)重返现世 \(\text{Solution}:\) 设 \(t_{i}\) 表示原料 \(i\) 第一次被生成的期望时间，\(\max_{k}(S)\) 表示集合 \(S\) 中第 \(k\) 大的 \(t_{i}\)，\(\min_{k}(S)\) 表示集合
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摘要：\(\text{Problem}:\)题目链接 感性证明一下凸性。 \(S1=(x+y+z+1)^{2}=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+2xy+2xz+2yz+1\) \(S2=(x+y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+2xy+2\) \(S3=(x+
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摘要：\(\text{Problem}:\)[APIO2014]回文串 \(\text{Solution}:\) \(\text{PAM}\) 模板题，但 \(\text{SAM}\) 一样可以做。 考虑回文串的形式：\(\text{...[a(bcb]a)...}\)，\([]\) 和 \(()\) 内
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摘要：\(\text{Problem}:\)Paper Task \(\text{Solution}:\) 合法括号串的性质：左括号个数等于右括号个数；任意一段后缀中，左括号个数小于等于右括号。 将 ( 看作 \(-1\)，) 看作 \(1\)，那么区间 \([l,r]\) 对应的子串是合法括号串的条件：
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