2035. 将数组分成两个数组并最小化数组和的差

题目描述

给一个长度是2*n的数组，需要将数组分成两个长度为n的数组
问怎么划分，可以让两个数组和的差的绝对值最小？

f1-折半枚举+排序+二分

基本分析

1.题意怎么转化？两个数组和的差->从nums中选n个数取正号，其余n个数取负号，然后求元素和
2.整个数组最长是30，大概暗示了什么？如果折半，是在状态压缩范围之内的
3.折半处理的思路是什么？把数组元素分成两半left和right，对left和right分别枚举n个元素取正或者负的所有情况，对按照正的个数c分组，分别形成两个字典cntl和cntr。遍历时：遍历cntl中的正数个数c，再遍历cntl[c]中的每个和suml，对这个suml，在cntr[c]中二分去找最接近的数字，两者的差是可能的结果ans
4.二分时候的细节和可能有哪些？这里用了二分1的方法，就是从cntr[c]中去找>=suml的最小值

• 可能cntr[c]的所有值都不满足，这个时候mid=r，用r处的点去比就行了
• 可能找到了合适的l，且l>0, 这个时候l处的值>=suml, l-1处的值<suml, 两个位置都有可能
• 可能找到了合适的l，但l==0，这个时候不存在<suml的数，只比较l处就行

代码

class Solution:
    def minimumDifference(self, nums: List[int]) -> int:

        def min( x, y):
            return x if x<=y else y

        n = len(nums) // 2
        al = nums[:n]
        ar = nums[n:]
        cntl = defaultdict(list)
        cntr = defaultdict(list)

        nmask = 1<<n
        for mask in range(nmask):
            c = mask.bit_count()
            suml, sumr = 0, 0
            for j in range(n):
                if mask & (1<<j):
                    suml += al[j]
                    sumr += ar[j]
                else:
                    suml -= al[j]
                    sumr -= ar[j]
            cntl[c].append(suml)
            cntr[c].append(sumr)
        
        for k in cntr.keys():
            cntr[k].sort()

        ans = float('inf')
        for k in cntl.keys():
            for suml in cntl[k]:
                l, r = 0, len(cntr[k])-1
                while l < r:
                    mid = (l+r)>>1
                    if cntr[k][mid] >= suml:
                        r = mid
                    else:
                        l = mid+1

                # 找到这个位置以后，有几种可能？
                # l不满足>=sum_, 但是l已经是最右边，l是一个极值点
                # l满足>=sum_,而且l左边还有值，l和l-1处都需要考虑
                # l满足>=sum_，但是l左边没有值，只考虑l
                if cntr[k][l] < suml:
                    ans = min(ans, suml - cntr[k][l])
                elif cntr[k][l] >=suml and l>0:
                    ans = min(ans, cntr[k][l]-suml)
                    ans = min(ans, suml - cntr[k][l-1])
                elif cntr[k][l] >=suml and l==0:
                    ans = min(ans, cntr[k][l] - suml)
                if ans == 0 or ans == 1:
                    return ans
        
        return ans

复杂度

时间：\(设一半的数组长是n，枚举生成cnt[c]需要O(n \cdot 2^n),后面遍历的复杂度不好写，待确认\)
空间：待确认

总结

缩小规模：枚举规模为n的的mask的情况，避免直接对30长度的nums动手（直接动手有没有啥方法）
为啥两边同时找cnt[c]来做差是可行的？举个例子[2,2,0,2,4,0,4,2]。对于前半会取c为3时，候选的和在[2,6]之间，后面c取3时候，候选的和在[2,6,10]之间。对于c=3的意思就是，前半取3个正1负，后半取3个正1负，因为还要做减法，两个和接近相等就是差值最小。这个里差值最小的情况就是1101 和 1110对应。