朴素贝叶斯-学习笔记

朴素贝叶斯

标签（空格分隔）： 机器学习

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朴素贝叶斯算法适合给文档分类。

词向量

先对文档分词，所有文档中所有不同的词构成词汇表。每个文档根据词汇表能形成一个词向量，1表示对应维度的词条出现在文档中，0表示词条未出现。

这种想法推广开来，发现向量是新时代的数字。
比如一个可能发生的事件集合，可以表示为一个向量，每个维度对应一个事件发生的概率。

问题描述

任给一个文档，怎样确定其分类？
每个文档对应一个词向量\(\vec w\)，需要确定\(p(c_i|\vec w)\)的最大值，即：已知这个文档的条件下，把这个文档归为哪个类的概率最大？

朴素贝叶斯

\[分类(\vec w) = p(c_i|\vec w)_{max}=\frac{p(\vec w|c_i)p(c_i)}{p(\vec w)} \]

其中\(\vec w\)表示词向量。对于任意一个分类\(c_i\)，\(p(\vec w)\)是相同的，因而只需要确定\(p(\vec w|c_i)\)和\(p(c_i)\)。

\(p(c_i)\)：从训练数据中，用简单除法得到。
\(p(\vec w|c_i)\):根据朴素贝叶斯假设，特征向量\(\vec w\)在\(c_i\)条件下相互独立，也就是：给定目标值时属性之间相互条件独立：

\[p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i) \]

而对于\(p(w_j|c_i)\)，只需要在扫描训练数据时，依据\(c_i\)过滤数据项，在这些被过滤出的数据中（都是\(c_i\)类的），用简单统计的结果相除，就得到在\(j\)维上的概率权值\(e(w_j|c_i)\)。为什么不是\(p(w_j|c_i)\)?因为最终要计算的是一个未知分类的向量\(\vec x\)的分类，需要将\(\vec x\)与概率权值向量\(\vec e\)对应位相乘，这才得到\(p(w_j|c_i)\)序列。\(\vec x\)中的元素非1即0，如果元素为1，那么\(p(w_j|c_i)\)就取\(e(w_j|c_i)\)，否则取0。

简单优化

条件概率乘积为0

\(p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i)\)这个公式中，一旦\(p(w_j|c_i)\)等于0，整个结果就是0。但是对于\(\vec w\)，你怎样判断\(\Pi p(w_j|c_i)=0\)的所有\(c_i\)，该如何判断哪个\(c_i\)更好？万一所有的\(c_i\)对应的\(p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i)\)都等于0，该怎样确定最终的分类？因此，要避免某个\(p(w_j|c_i)\)等于0。一个办法是使用拉普拉斯平滑：将所有词的出现数初始化为1，并将分母初始化为2。对应《机器学习实战》中文版P62的代码：

p0Num = onew(numWords)
p1Num = ones(numWords)
p0Denom = 2.0
p1Denom = 2.0

条件概率乘积下溢

相乘的都是概率，都是小于1的数，乘不了几次就得到非常小的数字，产生下溢，干扰比较。一个方法是用取对数。没错，就是这么老套的办法，但是管用，因为\(\forall x \in (0,1)\)，x越小，\(\log x\)的绝对值越大，或者说负的程度越大。对于\(p(\vec w|c_i)=\Pi p(w_j|c_i)\)取对数，就是一堆负数相加。这种情形下对于任意的\(\vec x\)是很方便的。

当然，公式中还有一个\(p(c_i)\)，也需要对数处理后相加。

代码

使用分类器

在训练阶段我们只计算\(e(\vec w|c_i)\)，这其实就是训练出来的分类器。一旦完成训练，就可以使用分类器：

def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):
    """
    @param vec2Classify: 需要被分类的词向量
    @param p0Vec: 第0类对应的词概率向量
    @param p1Vec: 第1类对应的词概率向量
    @param 
    """
    p1=sum(vec2Classify*p1Vec) + np.log(pClass1)
    p0=sum(vec2Classify*p0Vec) + np.log(1.0-pClass1)
    if p1>p0:
        return 1
    else:
        return 0

训练模型

使用训练数据，训练出分类器，也就是获取\(e(\vec w|c_i)\)和\(e(c_i)\)。同时修正了《机器学习实战》P61的一个bug，即对于\(p1Vect和p0Vect的计算，分母应当是训练数据对应类的向量总数，而不是元素总和\)：

def trainNB0(trainMatrix, trainCategory):
    """
    朴素贝叶斯分类器训练函数:计算P(\vec w|c_1)和P(\vec w|c_2)
    @param trainMatrix：训练矩阵
    @param trainCategory: 和trainMatrix配套使用的向量，表示每个trainMatrix[i]所属类别
    
    """
    numTrainDocs = len(trainMatrix)  #文档总数
    numWords=len(trainMatrix[0])  #向量维数：不重复的单词数量
    pAbusive=sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)
    p0Num=np.ones(numWords)
    p1Num=np.ones(numWords)
    p0Denom=2.0
    p1Denom=2.0
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i]==1:
            p1Num += trainMatrix[i]
            #p1Denom += sum(trainMatrix[i])  ##去掉这句
        else:
            p0Num += trainMatrix[i]
            #p0Denom += sum(trainMatrix[i])  ##去掉这句
    #p1Vect = p1Num/p1Denom  ##书上这句是错的
    #p0Vect = p0Num/p0Denom  ##这句也是错的
    
    num_c1 = sum(trainCategory)
    num_c0 = len(trainCategory) - num_c1
    p1Vect = log(p1Num / num_c1)   #这才正确的是p(\vec w|c_1)
    p0Vect = log(p0Num / num_c0)   #这才正确的是p(\vec w|c_0)
    
    return p0Vect, p1Vect, pAbusive #pAbusive就是p(c_1)

理论上到这里就算出了基本的表达式，可以用来比较了。

总结

感觉《机器学习实战》第四章朴素贝叶斯对于取对数的说明不够清楚，使用分类器时的向量相乘更是没有任何说明，让人一头雾水。不过章节后面的垃圾邮件分类和词语倾向性的例子还不错~