自己关于数列问题的一些思考

自己关于数列问题的一些思考

1st

\(\texttt{Q:}\)给定一个整数数列\(A\)，和一个整数\(k\)，求一个最长长度\(l\)，使数列中有长度为\(l\)的连续序列之和小于等于\(k\)。

\[\texttt{1 <= n <= 5e5, $-2^{31}$ <= k <= $2 ^ {31}$, $-2^{31}$ <= A[i] <= $2 ^ {31}$} \]

\(\texttt{Sol:}\)暴力枚举起点及终点（或长度）是\(O(n ^ 2)\)的，无法通过。可以维护一棵平衡树（\(\texttt{map}\)），每次将第\(1\)~\(i\)的前缀和及其\(id\)组成的二元组插入进平衡树（\(\texttt{以val为下标，id为值}\)），求解时找平衡树中有没有\(sum[i] - k\)这个数（\(\texttt{sum[i] - k的lowerbound}\)），如有，则答案就是\(i - mp[sum[i] - k]\)。

\(\texttt{Other Questions:}\)若只是求小于等于\(k\)的最大和，就把上面存的\(id\)改为\(bool\)，判断有没有出现过就彳亍。

2nd

\(\texttt{Q:}\)给定一个整数数列A，和一个整数L，一个平均数最大的、长度不小于L的连续子段。

\(\texttt{Sol:}\)二分每个平均数，转化为 定是否存在一个长度不小于L，且平均数大于等于枚举的平均数的子段 。
将数列中每个数都减去mid，则问题转化为 是否存在一个长度不小于L，且子段和非负的连续子段 。
限定一个右端点r，记录前面子段和最小的位置L，则以r为右端点的最大子段和为sum[r] - sum[l - 1]。
记录此时的最大子段和，若小于0，则不彳亍，反之彳亍。

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\(\texttt{Code:}\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MN = 1e5 + 5;

int n, f;
double a[MN], b[MN], sum[MN];
double ans;

bool check(double x) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = a[i] - x, sum[i] = sum[i - 1] + b[i];
    double min_pre = 0x7fffffff, res = -0x7fffffff;
    for (int i = f; i <= n; ++i) {
        min_pre = min(min_pre, sum[i - f]);
        res = max(res, sum[i] - min_pre);
    }
    return res >= 0;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> n >> f;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    double l = -1e6, r = 1e6, mid, eps = 1e-5;
    while (r - l >= eps) {
        mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    cout << int(r * 1000) << '\n';
    return 0;
}