Day5

• T1

做法1：枚举选了哪些行间隔，对列间隔进行 dp，时间复杂度 \(O(2^{n-1}n^3))\)。

做法2：枚举选了哪些行列列间隔，考虑增量使得转移变成 \(O(1)\)，时间复杂度 \(O(2^{n+m-2})\)。

做法3：甚至可以二分。

• T2

首先，每个点的代价是固定的。
考虑设 \(f(i,j)\) 代表从 \((0,0)\) 走到 \((i,j)\) 的最大值最小，设 \(g(i,j)\) 代表从 \((i,j)\) 走到 \((n,n)\) 的最大值最小，转移是简单的，对于答案合并一下即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

• T3

考虑到这玩意其实和最小斯坦纳树很像。
设 \(f(S,i)\) 是考虑了集合为 \(S\) 的颜色，树根为 \(i\) 时候的方案数，暴力转移是 \(O(2^kn^2)\) 的，而且很麻烦。
考虑再设 \(g(S,i)\) 是考虑到集合 \(S\)，树根为 \(i\)，且 \(i\) 度数是 \(1\) 时候的方案数。
先转移 \(g\)，我们枚举从一个 \(f\) 新连出去一个根，转移到 \(g\)，这部分是简单的。
再来转移 \(f\)，考虑枚举 \(i\) 的又一个儿子，这个儿子加上他的父亲恰好是 \(i\) 度数为 \(1\) 的方案，于是可以从 \(f\) 和 \(g\) 结合转移而来。
注意到其实算了 \(k\) 次，所以最后答案要除 \(k\)。
经过分析，时间复杂度是 \(O(3^kn)\) 的。

题目

• Loj3151
  考虑设 \(f(i,j)\) 代表枚举到 \(i\)，分成了 \(j\) 段的答案，但是朴素的转移是 \(O(T^2s)\) 的，显然无法通过。
  考虑优化，注意到 \(n\) 很小，这启发我们去枚举最后一段通过了几个人，显然随着人数的增多，最后一段的左端点是会右移的，考虑从 \(i\) 到 \(i+1\) 时，上述左端点会右移，于是可以直接开 \(50\) 个单调队列优化，时间复杂度 \(O(Tns)\)。

• P7142
  考虑最短路树，最短路其实在说假设点 \(i\) 的最短路是 \(dis_i\)，那么 \(dis< dis_i-1\) 的点不可能向 \(i\) 连边，\(dis=dis_i-1\) 的点至少有一个向 \(i\) 连边。
  考虑 dp，设 \(f(i,s_1,s_2)\) 是枚举到 \(i\)，考虑 \(s_1\) 集合内的 dis \(\leq i\)，\(s_2\) 集合内的 dis \(=i\)，转移枚举 \(s_3\)，意思是这些集合内的点距离为 \(i+1\)，复杂度经过分析是 \(O(4^n\times n)\) 的。
  需要预处理点对之间的贡献，显然，转移时，\(s_3\) 一定与 \(s_1-s_2\) 之间没有连边，\(s_2\) 与 \(s_3\) 之间至少有一条连边，这个的贡献听说是可以 \(O(3^n)\) 预处理的。

• CF1439A2
  显然，我们可以通过不超过 \(\frac{m}{2}\) 次操作把最后一行全变为 \(0\)，类似的，我们也可以把其他非首行的行变成 \(0\)。
  我们再对列做相同的操作（此时，显然只需要关心前两行），最后，显然只会有右上角 \(2\times 2\) 的矩阵非 \(0\)，可以证明，任意 \(2\times 2\) 的矩阵都可以消掉，于是最后一步爆搜即可。

• P8416
  先考虑一维的情况，考虑最坏情况是 \(2,3,....n,1\)，因为一个排列交换次数其实是 \(n-环个数\)，上述排列环个数为 \(1\)，这是因为每次操作最多合并两个环。
  由此猜测，二维情况交换行的最小次数为 \(n(n-1)\)，行列同理，于是总次数最小，即 \(k_0=2n(n-1)\)。
  于是我们考虑构造，显然，把每个数归位需要 \(2\) 次操作，考虑最后一行一列可以只用一次操作，于是可以得到一个显然的方法，考虑继续优化，但是还不会。

• CF1521E
  妙。
  考虑我们把横纵坐标均为偶数的点设为 \(0\)，此时有 \(n^2-(\frac{n}{2})^2\) 个非 \(0\) 位置（除法向上取整），但这是一个必要不充分条件，我们考虑加紧限制使得他变成充要条件，考虑限制 \(2\)，其实是要求相同的数字不超过 \(n\cdot \frac{n}{2}\)，(根据抽屉原理可以简单证明)，但是这是否是充要条件呢？我们考虑构造，分为如下三步：

• 填横坐标为奇数，纵坐标为偶数的点。

• 填横坐标为奇数，纵坐标为奇数的点。

• 填横坐标为偶数，纵坐标为奇数的点。
  显然，经过如下构造，每个 \(2\times 2\) 的方格的对角线在序列中的位置都大于 \(n\cdot (\frac{n}{2})\)，根据我们的条件，我们按照排好序的序列填，这两个数是一定不同的。

• CF1615F