考虑设 \(f(i,j)\) 代表我们从 \(i\) 开始打，用的总时间为 \(j\) 的期望。

根据定义，显然有 \(f(i,j)=\min(f(0,0),p_{i+1}(f(i+1,j+a_{i+1})+a_{i+1})+(1-p_{i+1})(f(i+1,j+b_{i+1})+b_i))\)。

但是转移成环，我们考虑二分 f[0][0]=mid，就可以转移了。

考虑期望线性性，于是直接考虑每个间隔被选的概率，最后相加即可。
考虑一条线什么时候被选。

考虑二项式反演一下，就可以转换成求 钦定 \(m\) 对点，有祖先关系，其他点随便填的方案数。

考虑转换以后的如何求，设 \(f(i,j)\) 是考虑 \(i\) 子树内，有 \(i\) 对祖先关系的方案数，转移是个树形背包，随便做做，肯定能做，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

暴力怎么做，暴力是不是求 \(\sum\limits_{i=0}^n \tbinom{n}{i}i^kp^iq^{n-i}\)。

显然做不了，但是有一个经典 trick 用斯特林数把复杂度瓶颈转到次数上，联合省选的组合数问题也是类似的 trick。