完备性定理之间的等价证明

确界存在 ⇒ 有限覆盖

\([a, b]\)\(\{I_\lambda\}\) 覆盖,对于 \(\forall S \subset \{I_\lambda\}\) 使得 \(S\) 有限,覆盖 \(a\) (这样的 \(S\) 总能找到)

定义 \(B = \{y \in [a, b] ~|~ [a, y] 被有限 S \subset I_\lambda 覆盖\}\) \(B\) 有界,故有上确界。

下证 \(b = \sup B\)

反证法:设上确界为 \(y_0 < b\) ,则 \(\exist I_{\lambda_0}\) 使得 \(y_0 \in I_{\lambda_0}\)

\(\exist \varepsilon_0\) 使得 \((y_0 - \varepsilon_0, y_0 + \varepsilon_0) \subset I_{\lambda_0}\)

\(\because\) \(y_0\) 是上确界则 \(\exist y \in B\) 使 \(y_0 - y < \frac {\varepsilon_0}{2}\)

\(\therefore\) \(\exist\) 有限 \(S\) 覆盖 \([a, y_0]\)\(S \cup I_{\lambda_0}\) 覆盖 \([a, y_0 + \frac{\varepsilon_0} 2 ]\)

\(\therefore\) \(b\) 为上确界 则 \(\exist I_{\lambda_0}\) 使得 \((b - \varepsilon, b + \varepsilon) \subset I_{\lambda_0}\)

\(\exist S'\) 覆盖 \([a, y_0]\)\([a, b] \subset S' \cup \{I_{\lambda_0}\}\)

问题1.9 B-W ⇒ 有限覆盖

问题 1.8.5 闭区间套 ⇒ B-W

\(\{x_0\} \subset [a, b]\) 二分 \([a, b]\) 取包含无限 \(\{x_n\}\) 的一半为 \([a_1, b_1]\) 令某个 \(x_{n_1} \in [a_1, b_1]\) 再二分 \([a_1, b_1]\)

由此得到一列 \([a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k] \supset \cdots\) 以及 \(\{x_{n_k}\}\) 使得 \(x_{n_k} \in [a_k, b_k]\)\(\exist\) 唯一 \(x \in [a_k, b_k]\)

\(0 \le |x_{n_k} - x| < b_k - a_k\) \(\therefore \lim_{k \to \infty} (x_{n_k} - x) = 0\)

有限覆盖 ⇒ 闭区间套

\([a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots\)\(\lim_{n \to \infty} |b_n - a_n| = 0\) 假设 \(\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] = \empty\)

构造 \((a_1 - \varepsilon, a_n)\)\((b_n, b_1 + \varepsilon)\) 由假设 \(\forall x \in [a_1, b_1]\)

\(\exist n\) 使得 \(x \notin [a_n, b_n]\)\(x < a_n \Rightarrow x \in(a_1 - \varepsilon, a_n)\)\(x > b_n \Rightarrow x \in (b_n, b_1 + \varepsilon)\)

故为 \([a_1, b_1]\) 的开覆盖,则存在有限子覆盖。

\(\therefore\) 可设为 \((a_1 - \varepsilon, a_{i_1}), (a_2 - \varepsilon, a_{i_2}), \dots, (a_1 - \varepsilon, a_{i_k})\)\((b_{j_1}, b_1 + \varepsilon), \dots, (b_{j_l}, b_1 + \varepsilon)\)

\(n > \max\{i_1, \dots, i_k, b_{j_1}, \dots, b_{j_k}\}\)
\(a_n, b_n\) 也能被覆盖 但 \(a_n \ge a_{i_1}, \dots, a_{i_k}\)\(b_n \le b_{j_1}, \dots, b_{j_l}\) 不能被覆盖。 矛盾。

有限覆盖 ⇒ 确界存在

反证法。设 \(S\) 有上界 \(a\)\(S \notin \empty\) 但无上确界,取 \(x \in S\)\(x \le a\) 考虑 \([x, a]\) \(\forall y \in [x, a]\) 构建开区间。

\(y\) 为上界,由假设 \(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 \(y - \varepsilon_y\) 也是上界。

\(U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\) ,当 \(y\) 不是上界的时,\(\exist \varepsilon > 0\) 使得 \(y + \varepsilon\) 也不是上界。

\(y\) 为上界,\(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 使得 \(y + \varepsilon_y\) 也不是上界。

\(U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\)

\(\therefore \{U_y ~|~ y \in [x, a]\}\)\([x, a]\) 的开覆盖

\(\therefore\) 有限子覆盖 \((a_1, b_1), \dots, (a_n, b_n)\)

取所有是上界的 \(a_i\) 令其最小值为 \(a_{i_0}\) ,则 \(a_{i_0}\) 为上界,\(a_{i_0} - \varepsilon\) 无法被 \(\{(a_i, b_i)|i为上界\}\) 覆盖,则 \(\exist (a_j, b_j)\) 覆盖

\(a_{i_0} - \varepsilon\)\(a_i\) 不是上界,由构造 \(b_j\) 不是上界与 \(a_{i_0} - \varepsilon < b_j\) 矛盾。

Cauchy收敛 ⇒ 闭区间套

\(\forall \varepsilon > 0, \exist N \in \mathbb N^+\) 使得 \(b_N - a_N < \varepsilon\)

\(\forall m, n > N, a_m a_n \in [a_N, b_N]\)\(|a_m - a_n| < \varepsilon\) ,则 \(\{a_n\}\)\(\text{Cauchy}\)\(\exist\) 极限

同理 \(\lim_{n \to \infty} b_n\) 存在 且 \(= \lim_{n \to \infty} a_n\)\(\{a_n\}\) 递增 \(\lim_{n \to \infty} a_n \ge a_n\) 同理 \(\le b_n\)\(\in [a_n, b_n]\)

唯一性 假设 \(a < a'\) 均为极限,则 \([a, a'] \subseteq [a_n, b_n]\) \(\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) \ge a' - a > 0\) 矛盾

posted @ 2020-10-29 20:56  zjp_shadow  阅读(323)  评论(2编辑  收藏  举报