【JZOJ6405】【NOIP2019模拟11.04】c

题目大意

给出一个矩阵的定义：

求它的逆矩阵的各项平方和。

$n\leq 1000000,m \leq 10^9+6$

Solution

手玩$m=0$的情况可以发现逆矩阵的定义是类似的：

• $j\leq i,(P^{-1}_n)(i,j)=(-1)^{i+j}(^{i}_{j})$
• $j>i,(P^{-1}_n)(i,j)=0$

模拟矩阵乘法就能证明这个结论。

当多了一个$j^{-m}$时，矩阵应该是这样的：

• $j\leq i,(P^{-1}_n)(i,j)=(-1)^{i+j}(^{i}_{j})i^m$
• $j>i,(P^{-1}_n)(i,j)=0$

证明与上面的类似。

于是问题变成求：

$$\sum_{i=1}^{n}i^{2m}\sum_{j=1}^{i}(^i_{j})^2$$

组合数的平方和即：

$$\sum_{i=0}^{n}C(n,i)^2$$

转化为：

$$\sum_{i=0}^{n}C(n,i)*C(n,n-i)$$

考虑其组合意义，相当于把一个长度为$2n$的序列分为两部分，枚举一部分选$i$个，另一部分选$n-i$个。其实就是在$2n$个数里选$n$个，于是上面的式子就变成：

$$\sum_{i=1}^{n}i^{2m}((^{2i}_i)-1)$$

线性求一下逆元就能$O(n)$解决了。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2000007;
const ll P = 1e9 + 7;

int n, m;
ll ans, fac[N], inv[N];

ll pow(ll a, ll b) {
	ll ret = 1;
	for (; b; a = a * a % P, b >>= 1) if (b & 1) ret = ret * a % P;
	return ret;
}
ll C(int n, int m) { return fac[n] * inv[m] % P * inv[n - m] % P; }

int main() {
	freopen("c.in", "r", stdin);
	//freopen("c.out", "w", stdout);
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 2000000; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
	inv[0] = inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 2000000; ++i) inv[i] = inv[P % i] * (P - P / i) % P;
	for (int i = 2; i <= 2000000; ++i) inv[i] = inv[i] * inv[i - 1] % P;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = (ans + pow(i, 2 * m) * (C(2 * i, i) - 1 + P) % P) % P;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}