GAMES101-现代计算机图形学入门 Lecture03 Transformation 笔记

点和向量的齐次坐标表示

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• 2D 点 = \((x,y,0)^T\)

• 2D 向量 = \((x,y,1)^T\)

该表达形式可简便的表示点和点，向量和向量，点和向量的运算：

• 点 \(-\) 点 \(=\) 向量
• 向量 \(\pm\) 向量 \(=\) 向量
• 点 \(\pm\) 向量 \(=\) 点
• 点 \(+\) 点 \(=\) 两点连线的中点

2D 模型变换（齐次坐标）

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Scale

\[\begin{pmatrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \]

Reflection

\[\begin{pmatrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \]

Shear

\[\begin{pmatrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \]

Rotate

\[\begin{pmatrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \ \theta & -sin \ \theta & 0 \\ sin \ \theta & cos \ \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \]

Translation

\[\begin{pmatrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \]