进制转换专题

1.进制基本概念

• 基数：进位计数制中所采用的数码（数制中用来表示“量”的符号）的个数。如十进制的基数为 10，含 0 ~ 9 十个数字

• 位权：进位制中每一固定位置对应的单位值。如十进制的个位位权为 10^0(1) 、十位位权为 10^1(10)、 百位位权为 10^2(100)，以此类推

2.进制分类

• 十进制：生活中最常用的进制，满十进一，包含数字 0 ~ 9。任意的十进制数拆开都是由这十个基数构成

• 八进制：C语言中以 0 开头，满八进一，包含数字 0 ~ 7。任意的八进制数拆开都是由这八个基数构成

• 十六进制：C语言中以 0x 或 0X 开头，包含数字 0 ~ 9、 字母 A ~ F 或 a ~ f； A/a 代表数字 10，F/f 代表数字15。任意的十六进制数拆分开都是由这十六个基数构成

  • 用字母代替 10 ~ 15 可避免歧义，如 0X931087中的10，如果不引入字母的话，不确定是看作十还是一和零

3.二/八/十六进制转十进制

• 拆分十进制数：从十进制数的拆分出发，对比得到其他进制转为十进制的方法。

# 每一位的数与该位位权相乘后相加求和
2354 = 2 * 10^3 + 3 * 10^2 + 5 * 10^1 + 4 * 10^0 = 2354

• 拆分二进制

# 二进制数只有0和1两种数字组成
# 二进制数每一位的位权为2^n
(1100)2 = 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 = 12

• 转换方法

  • 对于形式化的进制表示可以从 0 开始，对数字的各个数位进行编号，即个位起往左依次为编号 0，1，2，……；对称的，从小数点后的数位则是 -1，-2，……

  • 十进制数 110，其中百位上的1表示 1 个 10^2， 即 100，十位的 1 表示 1 个 10^1， 即 10，个位的 0 表示 0 个10^0，即 0

  • 二进制数 110，其中高位的 1 表示 1 个 2^2， 即 4，低位的 1 表示 1 个 2^1， 即 2，最低位的 0 表示 0 个2^0，即 0

  • 十六进制数 110，其中高位的 1 表示 1 个 16^2， 即 256，低位的 1 表示 1 个 16^1， 即 16，最低位的 0 表示 0 个 16^0，即 0

• 总结

  • 在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，这种关系称为数的位权

  • 十进制数的位权是以 10 为底的幂，二进制数的位权是以 2 为底的幂，十六进制数的位权是以 16 为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列

  • 无论是二进制、八进制还是十六进制，各位上的位权与该位上的数相乘，最后再相加得到的和就是它转为十进制的结果

4.十进制转为二/八/十六进制

• 方法1（基础方法）：短除法，除到商为0截止；余数要倒序相连

  • 注意：十进制转为多少进制，除数就是多少（除二取余 除八取余 除十六取余）
  • 案例
    
    

• 方法2（进阶方法）

  • 原理：二进制转十进制是由若干个 2 的整数次幂相加得到的，那反过来，十进制转为二进制可以拆分为若干个2的整数次幂的和

  • 必备：2 的 0 到 10 的幂次方

  • 案例

  // 计算十进制数345的二进制数
  // 离345最近的是256 345 - 256 = 89
  // 离89最近的64 89 - 64 = 25 
  // 离25最近的16 25 - 16 = 9
  // 离9最近的8 9 - 8 = 1
  // 所以345 = 256 + 64 + 16 + 8 + 1 
  // 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512 、1024中用到的写1，未用到的写0
  // 即1（1）、 2（0）、4（0）、8（1）、16（1）、32（0）、64（1）、128（0）、 256（1）、 512（0） 、1024（0）
  // 然后从后往前把括号里的数据读出来：0010 1011 001 省去无用的0，即101011001
  // ====================或者=========================
  // 345 = 256 + 64 + 16 + 8 + 1 = 2^8 + 2^6 + 2^4 + 2^3 + 2^0
  // = 1 * 2^8 + 0 * 2^7 + 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0
  // 上式中与2的整数次幂相乘的1或0就是代表整数次幂的位权上的1或0，将2^8到2^0左边的0或1从左往右
  // 排列依然是 101011001