高维前缀和（SOSDP）速通

高维前缀和（SOSDP）速通

前言

长话短说

举例描述

给定 \(n\) 和一个集合 \(A = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_n\}\)，定义：\(SUM(X)=\sum\limits_{v \in X} v\)，求 \(\sum\limits_{T \subseteq A} SUM(T)\)（子集和）

暴力 \(O(4^n)\)

设 \(f[s]\) 表示状态为 \(s\) 的 子集和

注意到，易证

for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++){
    for(int j = 0 ; j < n ; j ++){
        if((i & j) == j) f[i] += A[j];
    }
}

暴力 \(O(3^n)\)

也易证

for(int i = 0 ; i < (i << n) ; i ++){
    f[i] = A[i];
    for(int j = i ; j > 0 ; j = (j - 1) & i){
        f[i] += A[j];
    }
}

正解 \(O(N \times 2 ^ N)\)

1

设 \(g[s][i]\) 表示状态为 \(s\) ，每次修改后 \(i+1\) 位的一种方案

递推

for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++){
    g[i][0] = A[i];
    for(int j = 0 ; j < n ; j ++){
        if(i >> j & 1) g[i][j + 1] = g[i][j] + g[i ^ (1 << j)][j];
        else g[i][j + 1] = g[i][j];
    }
    f[i] = g[i][n];
}

2

每一层只往下转移，所以滚一下

for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++) f[i] = A[i];
    for(int j = 0 ; j < n ; j ++){
        for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++){
            if(i >> j & 1) f[i] += f[i ^ (1 << j)];
        }
    }

完整代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 3e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

int a[N];
int A[N];
int f[N];

signed main(){

    // freopen("echo.in", "r", stdin);
    // freopen("echo.out", "w", stdout);

    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int n;
    cin>>n;

    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin>>a[i];

    for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++){
        for(int j = 0 ; j < n ; j ++){
            if(i >> j & 1){
                A[i] += a[j + 1];
            }
        }
    }

    for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++) f[i] = A[i];
    for(int j = 0 ; j < n ; j ++){
        for(int i = 0 ; i < (1 << n) ; i ++){
            if(i >> j & 1) f[i] += f[i ^ (1 << j)];
        }
    }

    cout<<f[(1 << n) - 1];

    return 0;
}