P1516 青蛙的约会 解题报告

P1516 青蛙的约会 题解

\(\quad\)真是一道酣畅淋漓的数论题呐

1. 原题 P1516 青蛙的约会

2. 简化题意

\(\quad\)在一个长度为 \(l\) 圆环上，青蛙A在 \(x\) 点，青蛙B在 \(y\) 点，青蛙A一步能走 \(m\) 米，青蛙B一步能走 \(n\) 米，问：两只青蛙何时能站在同一点上

3. 转化题意

\(\quad\)我们设跳 \(k\) 次后两只青蛙会相遇，根据题意，我们可以得到一个同余方程：

\[x + k \cdot m \equiv y + k \cdot n \pmod l \]

根据同余方程的性质，我们可以将这个柿子转化一下：

\[k \cdot m - k \cdot n \equiv y - x \pmod l \]

将左边提取公因式可以再次转化：

\[k \cdot (m - n) \equiv y - x \pmod l \]

这个柿子是什么意思呢？

不难发现，\(k \cdot (m - n)\) 与 \(y - x\) 的差是 \(l\) 的整数倍，那么我们可以再代入一个未知数 \(z \in \mathbb{Z}\) （\(z\)属于整数集）

那么我们将柿子进一步转化，转化为等式：

\[k \cdot (m - n) - (y - x) = z \cdot l \pod{z \in \mathbb{Z}} \]

我们将所有未知数转移到左边可以得到：

\[k \cdot (m - n) - z \cdot l = y - x \pod{z \in \mathbb{Z}} \implies k \cdot (m - n) + l \cdot (-z) = y - x \pod{z \in \mathbb{Z}} \]

仔细观察一下这个柿子，是不是有点眼熟？\(a \cdot x + b \cdot y = c\) 是不是恍然大悟？我去，这不就是一个 不定方程 吗！想到这里，你应该可以写了，只需要一个 拓展欧几里得 即可求解

4. 如何用 拓展欧几里得 ？

为了便于下面的理解，我们将用 \(a\) 代替 \(m - n\)，用 \(b\) 代替 \(l\)，用 \(c\) 代替 \(y - x\)，\(z\) 和 \(k\) 代表一个未知数

那么我们可以列出一个便于理解的柿子

\[a \cdot k - b \cdot z = c \implies a \cdot k + b \cdot (-z) = c \]

什么情况下无解呢？

我们知道exgcd是用来求解形如 \(a \cdot x + b \cdot y = gcd(a, b)\) 的不定方程，根据这个我们很容易得到 当且仅当 \(c\) 为 \(gcd(a, b)\) 的倍数时，\(a \cdot k + b \cdot (-z) = c\) 有解，所以就可以判断 if((b - a) % __gcd(n - m, l) != 0) 时，输出 Impossible

具体如何求解？

根据exgcd，我们求解了方程 \(a \cdot k + b \cdot (-z) = gcd(a, b)\) 得到了一组解 假设其为 \((k', z')\)，我们需要根据这个方程的这组解，求解出属于这道题的特解 \(k_特\)

观察这两个方程：

\[a \cdot k' + b \cdot (-z') = gcd(a, b) \]

\[a \cdot k_特 + b \cdot (-z_特) = c \]

我们考虑将第一个方程转化为第二个方程，只需要左右两边同时乘 \(\frac{c}{gcd(a, b)}\)：

\[a \cdot [k' \cdot (\frac{c}{gcd(a, b)})] + b \cdot [(-z') \cdot (\frac{c}{gcd(a, b)})] = gcd(a, b) \cdot \frac{c}{gcd(a, b)} = c \]

所以：

\[k_特 = k' \cdot (\frac{c}{gcd(a, b)}) \]

很好，恭喜你解决了这道题：

5. 参考代码

不建议直接看，建议自己把柿子推一遍，自己写

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){ // 精简版exgcd 
	if(!b) return x = 1, y = 0, a;
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

signed main(){
	
	int a, b, n, m, l;
	cin>>a>>b>>n>>m>>l;
	
	int x, y;
	int d = exgcd(n - m, l, x, y); // n-m只是取了m-n的相反数，不取相反数会出问题
	
	if((b - a) % d != 0) return 0 * puts("Impossible"); 
	int t = abs(l / d);
	x *= (b - a) / d;
	cout<<(x % t + t) % t;
	
	return 0;
}