02动态规划算法
应用场景-背包问题
背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品
| 物品 | 重量 | 价格 |
|---|---|---|
| 吉他(G) | 1 | 1500 |
| 音响(S) | 4 | 3000 |
| 电脑(L) | 3 | 2000 |
1)要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2)要求装入的物品不能重复
动态规划算法介绍
1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2)动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3)与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.
动态规划算法最佳实践-背包问题
思路分析和图解
•背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
•这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品
(1) v[i] [0]=v[0] [j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i] [j]=v[i-1] [j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i] [j]=max{v[i-1] [j], v[i]+v[i-1] [j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1] [j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1] [j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i] [j]=max{v[i-1] [j], v[i]+v[i-1] [j-w[i]]} :
| 物品 | 重量 | 价格 |
|---|---|---|
| 吉他(G) | 1 | 1500 |
| 音响(S) | 4 | 3000 |
| 电脑(L) | 3 | 2000 |
要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出。
解决类似的问题可以分解成一个个的小问题进行解决，假设存在背包容量大小分为1，2，3，4的各种容量的背包(分配容量的规则为最小重量的整数倍)：
| 物品 | 0 磅 | 1磅 | 2磅 | 3磅 | 4磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他(G) | 0 | ||||
| 音响(S) | 0 | ||||
| 电脑(L) | 0 |
对于第一行(i=1), 目前只有吉他可以选择，所以
| 物品 | 0 磅 | 1磅 | 2磅 | 3磅 | 4磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他(G) | 0 | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) |
| 音响(S) | 0 | ||||
| 电脑(L) | 0 |
对于第二行(i=2),目前存在吉他和音响可以选择,所以
| 物品 | 0 磅 | 1磅 | 2磅 | 3磅 | 4磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他(G) | 0 | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) |
| 音响(S) | 0 | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) | 3000(S) |
| 电脑(L) | 0 |
对于第三行(i=3),目前存在吉他和音响、电脑可以选择,所以
| 物品 | 0 磅 | 1磅 | 2磅 | 3磅 | 4磅 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 吉他(G) | 0 | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) |
| 音响(S) | 0 | 1500(G) | 1500(G) | 1500(G) | 3000(S) |
| 电脑(L) | 0 | 1500(G) | 1500(G) | 2000(L) | 3500(L+G) |
例：
\1. 假如现在只有 吉他(G) ， 这时不管背包容量多大，只能放一个吉他1500(G)
\2. 假如有吉他和音响 ,
验证公式:
v[1] [1] =1500
\1. i = 1, j = 1
\2. w[i] = w[1] = 1
w [1] = 1 j = 1 v[i] [j]=max{v[i-1] [j], v[i]+v[i-1] [j-w[i]]} :
v[1] [1] = max {v[0] [1], v[1] + v[0] [1-1]} = max{0, 1500 + 0} = 1500
v[3] [4]
\1. i = 3；j = 4
w[i] = w[3] =3 j = 4
j = 4 >= w[i] = 3 => 4 >= 3
v[3] [4] = max {v[2] [4], v[3] + v[2] [1]} = max{3000, 2000+1500} = 2000+1500
代码：
package Algorithm.Dynamic;
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
int m = 4; //背包的容量
int n = val.length; //物品的个数
//创建二维数组，
//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n+1][m+1];
//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
for(int i=0;i<v.length;i++){
v[i][0]=0;
}
for(int i=0;i<v[0].length;i++){
v[0][i]=0;
}
//根据前面得到公式来动态规划处理
for(int i=1;i<v.length;i++) {
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
//公式
if (w[i - 1] > j) {
v[i][j] = v[i - 1][j];
} else {
//说明:
//因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
//输出一下v 看看目前的情况
for(int i =0; i < v.length;i++) {
for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("============================");
int i = path.length - 1; //行的最大下标
int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
if(path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
j -= w[i-1]; //w[i-1]
}
i--;
}
}
}
输出：
0 0 0 0 0
0 1500 1500 1500 1500
0 1500 1500 1500 3000
0 1500 1500 2000 3500
============================
第3个商品放入到背包
第1个商品放入到背包
浙公网安备 33010602011771号