Tarjan 系列算法学习总结 - 有向图强连通分量，无向图割顶和桥，无向图双连通分量

 

Tarjan算法求有向图强连通分量

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常用场景：

• 求顶点基：求出强连通分量后缩点，得到DAG。在入度为0的点中，每个强连通分量中任取一个点，可构成顶点基。

核心思想：

• 注意每个节点在一个且仅在一个强连通分量中。
• 当dfs第一次访问到某一个强连通分量时，将这个被初次访问的节点记为根节点，其所在的强连通分量必定被包含在以此节点为根的DFS子树之中。
• 一个点为根节点，当且仅当其本身和其子节点无法访问到比该节点更早的节点。
• $dfn[i]$保存节点dfs序，$low[i]$保存节点所能访问到的dfs序最靠前的点，根据定义来更新。

  // 求强连通分量，通常可以对有向图中强连通分量进行缩点。生成DAG图
  #include <stack>
  #include <vector>
  using namespace std;
  
  const int maxn = 100000;
  
  //接口: 邻接表 多组数据时 需要所有过程量初始化为0；
  vector <int> G[maxn];
  
  //说明： Tar 为记录未处理的回溯栈
  //dfn[i] 第i个节点的dfs序
  //low[i] 第i个节点所能访问到的最早祖先(dfs序值)
  //注意 由于随意取点 因此dfs要将所有的点遍历 节点编号是从 1开始
  stack <int> Tar;
  int dfn[maxn], low[maxn];
  bool instack[maxn];
  int index = 0;
  int Bcnt = 0;
  //结果 Bcnt 表示强连通分量的数目
  int Tarjan(int i)
  {
          dfn[i] = low[i] = ++index;
          instack[i] = true;
          Tar.push(i);
          for (int j = 0; j < G[i].size(); j++)
          {
                  if (!dfn[G[i][j]])
                  {
                          Tarjan(G[i][j]);
                          if (low[i] > low[G[i][j]]) low[i] = low[G[i][j]];
                  }
                  else if (instack[G[i][j]] && low[i] > dfn[G[i][j]]) low[i] = dfn[G[i][j]];
          }
          if (dfn[i] == low[i]) {
                  Bcnt++;
  
                  while(!Tar.empty())
                  {
                          int j = Tar.top();
                          Tar.pop();
                          instack[j] = false;
                          /* j是当前第Bcnt个强连通分量中的节点
                                  按需要操作
                          */
                          if (j == i) break;
  
                  }
          }
  }

   

Tarjan算法求无向图割点和桥

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与求强连通分量的思想类似：

• 每次开始dfs最先访问的点即dfs树的树根，该点是割点，当且仅当存在两个或者更多子节点时，其是割点。
• 非根节点$u$是割点，当且仅当其存在一个子节点$v$，使得$v$及其子节点都无法通过除了边$(u,v)$ 外访问回其根节点的祖先，即 $ dfn[u] \leq low[v] $。
• $(u,v)$ 是桥当且仅当$v$及其子节点都无法通过除了边$(u,v)$ 外访问回其根节点及其祖先，即 $ dfn[u] < low[v] $。注意割点的定义，桥并不要求dfs树树根特判。
• 实现细节上，由于无向图边的双向性，dfs时需要同时考虑其父亲节点不能重复访问。
• 代码板子待补

Tarjan算法求无向图双连通分量

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无向图中双连通分量分为点双连通和边双连通。

边双连通图：将所有的桥删去，剩下各联通块的部分就是双连通分量；

点双连通图：

• 有几个需要注意的点，首先栈内保存的应当是边，而不是点，因为双连通分量之间可能共享某一个割点。
• 从刘汝佳训练指南的板子中我们需要一点更正，这个模板求出的双连通分量的定义应该是“子图内部不含割点的连通分量”，当该连通分量所含点数大于2时，才存在环。