数据结构与算法分析(1)——约瑟夫问题

0 问题描述

　　据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。^[1]

　　简单地说就是n个人围成一个圈，假设编号为0~n-1，报数范围为1~m。从第0个人开始报数，每报到m，这个人就出局。接着下一个人从1开始重新报数...直到剩下最后一个人。

1 问题解法

　　该问题常用解法有链表法和数组法，其他的比如公式法和递归法以后补充。个人觉得链表法最容易理解，可能是先入为主的心理，嘿嘿嘿，下面就简单说一下。

1.1 链表法

　　首先建立长度为n的循环链表，然后头结点开始报数，每第m个数删除一个结点，直到只剩下一个结点。

#include <iostream>

using namespace std;

struct ListNode
{
    int val;
    struct ListNode* next;
};

/******创建循环链表******/
ListNode* creatCirListNode(int n)
{
    //创建头结点
    ListNode *head,*node,*newnode;
    node = new ListNode;
    node->val = 0;
    node->next = NULL;
    head = node;
    //创建链表
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        newnode = new ListNode;
        newnode->val = i;
        node->next = newnode;
        node = newnode;
    }
    //将最后一个结点指向头结点，形成循环链表
    node->next = head;
    return head;
}

/******约瑟夫问题求解******/
int josephSolution(ListNode* head,int m)
{
    if (NULL == head)
    {
        return -1;
    }
    ListNode* pNode;                        //用来遍历结点
    pNode = head;        
    while (pNode->next != pNode)            //循环终止条件是只剩下一个结点
    {
        for (int i = 0; i < m-1; i++)        //报数
        {
            pNode = pNode->next;
        }
        cout << pNode->next->val << "->";
        pNode->next = pNode->next->next;    //删除链表结点
    }
    return pNode->val;
}

int main()
{
    int n = 41;
    int m = 3;
    int result;
    ListNode* pHead;
    pHead = creatCirListNode(n);
    result = josephSolution(pHead, m);
    cout << result << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

　　运行结果：

 

 

1.2 数组法

　　数组法的关键是使用求余的方法循环遍历数组i=(i+1)%n，其中i是数组下标即每个人的标号，n是总人数。当i的值等于n-1时，即遍历至数组最后一个元素，通过求余可使i=0。

　　借牛客网上的一个题，直接上代码：

int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
       if(n==0)
       {
           return -1;
       }
       vector<int> childnum(n);    //初始化n个元素,每个元素值为0
       int count=0;                //计出局人数
       int step = 0;

　　　　/****循环遍历数组****/
       for(int i=0;;i=(i+1)%n) 
       {
           if(childnum[i]==-1)　　　//判断是否出局，是则continue，跳过这个元素
               continue;
           step++;　　　　　　　　　　//否则报数
           if(step == m)　　　　　　 //判断是否报数到m，是则将其置-1，否则继续报数
           {
               childnum[i]=-1;　　　
               step = 0;　　　　　　 //将计数器置0
               count++;            //记录离开了多少小朋友
           }
           if(count == n)　　　　　　//出局n个人，则游戏结束，返回最后一个的坐标
           {
               return i;
               break;
           }
       }
       return -1;
    }

 2 结语

　　没想到人生第一篇博客先给了约瑟夫问题~hahahahahaha~

　　写博客的目的主要是方便以后查看，希望能一直坚持下去吧，为自己还没开始的程序员生涯留下一点痕迹~