算法的基础概念

一、算法的定义

• 算法： 是特定问题的解题步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，每一指令表示一个或多个操作。即如何处理数据（结构），以解决特定问题。 通俗易懂地讲，数据结构是一份份上好的食材，那么算法便是一张张精致的菜谱，描述的是料理食材的一道道工序，最终可以制作出精美的菜肴。

因此数据结构与算法的关系是相互依赖不可分割的。

二、算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

1. 输入输出： 一个算法具有零个或多个输入，具有至少一个输出，输出形式可以是打印输出，也可以是返回N个值。

2. 有穷性： 一个算法必须在执行有穷个操作后结束，并且每个操作都必须在可接受的时间内完成。

3. 确定性： 一个算法中的每一个操作都必须具有确定的含义，不具有二义性。即相同的输入只能得出相同的输出。

4. 可行性： 一个算法中的每一个操作都可以通过执行有限次的基本运算完成。

三、算法设计的要求

算法设计具有四个基本要求：正确性、可读性、健壮性以及高效率与低存储。

1. 正确性： 算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求以及得到问题的正确答案。

2. 可读性： 算法应该便于阅读、理解和交流。

3. 健壮性： 当输入数据不合理时，算法能够做出相关处理，而不是出现异常或得出莫名的解。

4. 高效率与低存储： 设计算法应尽量满足时间效率高和存储空间低的需求。

四、算法的时间复杂度

时间复杂度是度量算法执行效率的标准之一。

• 时间频率： 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为时间频度（语句频度），记为T(n)。

• 时间复杂度： 在刚才提到的时间频度中，n为问题的输入规模（即输入量），当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。算法中基本操作的执行次数可以表示为输入规模n的函数，记作T(n)。若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

• 时间复杂度计算步骤：

        1. 求出算法中基本语句的执行次数关于输入规模n的函数T(n);

        2. 只保留T(n)中的最高次幂项，并去除该项的系数，得到T(n)的同数量级函数f(n)；

        3. 用大Ｏ阶记法表示算法的时间复杂度。

五、常见时间复杂度的示例

1. 常数阶 Ｏ(1)

int sum = 0,n = 100;
sum = (n+1)*n/2;
sum = (n+1)*n/2;
sum = (n+1)*n/2;
printf("%d",sum);

上述代码的总语句执行次数为5，是一个常数，与问题输入规模n无关。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。

2. 对数阶 Ｏ(logn)

int count = 1;
while(count < n) {
    count *= 2;
}

上述代码，语句1的执行次数为1，语句3的执行次数为T(n)，2^T(n) < n + 1，T(n) < ln(n+1)，取T(n) = ln(n)，则总执行次数为ln(n) + 1。算法的时间复杂度为对数阶，记作T(n)=O(logn)。

3. 平方阶 Ｏ(n²)

int i,j;
for ( i = 0; i < n; i ++ ) {
    printf(%d",i*2);
    for ( j = i; j < n; j ++ ) {
         printf(%d",i+j);
    }
}

上述代码，语句1的执行次数为1，语句3的执行次数为n，语句5的执行n + (n-1) + (n-2) + …… + 2 + 1 = n(n+1)/2，则总执行次数为n²/2 + 3n/2 + 1。算法的时间复杂度为平方阶，记作T(n)=Ｏ(n²)。


除此之外，还有立方阶、指数阶、阶乘阶等时间复杂度，时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(logn)＜Ο(n)＜Ο(nlogn)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜…＜Ο(2ⁿ)＜Ο(n!) 。

六、算法的空间复杂度

       算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，空间复杂度的计算公式记作：S(n) = Ο( f(n) )，其中n为问题的输入规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
       一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。

1. 算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变；
2. 存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法；
3. 算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异，有的算法只需要占用少量的临时工作单元，而且不随问题规模的大小而改变；有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元。
   
   
   

---

参考文章：https://blog.csdn.net/zolalad/article/details/11848739